چگونه قهرمانی لیورپول در لیگ برتر، دنباله‌ اسرارآمیز فیبوناچی را کامل کرد؟

باشگاه فوتبال لیورپول برای دومین بار عنوان قهرمانی لیگ برتر را کسب کرده است. با احتساب ۱۸ قهرمانی پیش از آغاز لیگ برتر، لیورپول اکنون با رکورد منچستریونایتد برابر شده و هر دو باشگاه، بیست بار عنوان قهرمانی فوتبال انگلستان را از آن خود کرده‌اند. اما درحالی‌‌که هواداران لیورپول مشغول جشن و شادی برای این موفقیت تاریخی هستند، بُعد شگفت‌انگیز و غیرمنتظره‌ای از این دستاورد، نظر ریاضی‌دانان را نیز به خود جلب کرده است.

قهرمانی اخیر لیورپول پایان‌بخش مجموعه‌ای خارق‌العاده از اعداد بود که شکل‌گیری آن ۳۳ سال به طول انجامید. این دنباله زمانی پدیدار می‌شود که باشگاه لیورپول را در کنار دیگر تیم‌هایی که از زمان تأسیس لیگ برتر در سال ۱۹۹۲ موفق به کسب قهرمانی شده‌اند، براساس تعداد عناوین کسب‌شده، از کم‌ترین به بیش‌ترین، ردیف کنیم.

همان‌طور که در جدول زیر مشاهده می‌شود، تعداد قهرمانی‌های تیم‌های مختلف در لیگ برتر به ترتیب زیر است: ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳. این اعداد به‌طور شگفت‌انگیزی با دنباله فیبوناچی مطابقت دارند: دنباله‌ای که در آن هر عدد حاصل جمع دو عدد پیشین خود است. قهرمانی اخیر لیورپول، با رساندن شمار قهرمانی‌های آن‌ها به ۲، جای خالی در این توالی را پر کرده و آن را به شکلی زیبا و ریاضی‌وار کامل کرده است.

برای افرادی که در ریاضیات تخصص ندارند، ممکن است این دنباله اهمیتی نداشته باشد. اما برای علاقمندان به ریاضی این دنباله بسیار جالب است. آن‌ها متوجه می‌شوند این همان دنباله فیبوناچی است. در دنباله فیبوناچی، هر عدد (بعد از دو عدد اول) حاصل جمع دو عدد قبلی است.

مرجان شیخی

دنباله فیبوناچی؛ الگوی اسرارآمیز طبیعت

مطالعه '15

دنباله فیبوناچی در مکان‌های شگفت‌انگیز و متنوعی از مارپیچ دانه‌ها روی سر آفتابگردان‌ها و فلس‌های مخروط کاج گرفته تا الگوهای درخت خانواده در برخی از گونه‌های حیوانات یافت می‌شود.

دنباله‌های فیبوناچی اولین بار در سال ۱۲۰۲ توسط لئوناردو دا پیزا که به نام فیبوناچی نیز شناخته می‌شود، به علم اروپایی معرفی شدند. با‌این‌حال، مدت‌ها پیش از آنکه فیبوناچی دنباله‌ها را در کتاب حساب خود (لیبر آباکی) معرفی کند، این دنباله‌ها برای ریاضی‌دانان هندی شناخته شده بودند. آن‌ها از این دنباله‌ها استفاده می‌کردند تا بتوانند تعداد شعرهای ممکن با طول مشخص را تعیین کنند (با این فرض که از هجاهای کوتاه با طول یک واحد و هجاهای بلند با طول دو واحد استفاده شود).

در دنباله‌های فیبوناچی، چیزی به نام «نسبت طلایی» وجود دارد. وقتی اعداد دنباله فیبوناچی بزرگ‌تر می‌شوند، نسبت هر عدد به عدد قبلی آن بیشتر و بیشتر به عددی خاص می‌رسد که به آن نسبت طلایی می‌گویند. این عدد حدوداً برابر با ۱٫۶۱۸۰۳ است. به زبان ساده، وقتی دنباله فیبوناچی را ادامه می‌دهیم (مثل ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ...)، اگر هر عدد را بر عدد قبلی تقسیم کنیم (مثلاً ۲۱ ÷ ۱۳ یا ۱۳ ÷ ۸)، این نسبت به‌تدریج به عددی نزدیک می‌شود که به آن نسبت طلایی یا عدد طلایی می‌گویند. با نوشتن چند رقم اول اعشاری، مقدار این عدد را به‌طور تقریبی ۱٫۶۱۸۰۳ در نظر می‌گیرند.

نسبت طلایی به‌طور طبیعی در چیدمان برگ‌ها روی ساقه برخی گیاهان وجود دارد. این نسبت به‌گونه‌ای است که در هنر، معماری و موسیقی وقتی از آن استفاده می‌شود، نتیجه‌ی آن معمولاً زیبا و دلپذیر به نظر می‌آید.

دنباله‌های فیبوناچی می‌توانند به‌طور ملموسی نشان‌دهنده‌ی ریاضیات در طبیعت و دنیای واقعی باشند. این الگوها به مردم کمک می‌کنند زیبایی و نظم ریاضیاتی را که در دنیای اطرافشان وجود دارد، بهتر درک کنند. بسیاری از کسانی که ریاضیات نمی‌دانند، ممکن است نتوانند این زیبایی‌ها را بدون دیدن این الگوهای عملی در دنیای واقعی درک کنند.

گاهی به‌طور اغراق‌آمیز تلاش می‌کنیم دنباله‌های فیبوناچی یا نسبت طلایی را به‌عنوان قانون طبیعی کلی معرفی کنیم که تمامی پدیده‌های طبیعی، ازجمله شکل‌های مارپیچی صدف‌ها، گرداب‌های طوفان‌ها و حتی بازوهای خمیده کهکشان‌ها را توضیح دهد.

حقیقت این است که گرچه بسیاری از ویژگی‌های طبیعی ازنظر ظاهری زیبا هستند و گاهی شبیه دنباله فیبوناچی یا نسبت طلایی به‌نظر می‌رسند، تعداد کمی از آن‌ها واقعاً مطابق با این قوانین هستند. نباید تلاش کنیم به‌زور و بدون دلیل، هر الگوی زیبای طبیعی را با دنباله فیبوناچی یا نسبت طلایی تطبیق دهیم و برای این الگوها معنی خاصی پیدا کنیم که ممکن است اصلاً وجود نداشته باشد.

دیدن دنباله فیبوناچی در جایی به غیر از آنچه که انتظار می‌رود، مانند لیگ برتر، شگفت‌انگیز است. وقتی به‌عنوان دانشمند با دنباله‌ای معروف مانند این مواجه می‌شویم که به‌طور ناگهانی ظاهر می‌شود، باید از خود بپرسیم که آیا این دنباله اطلاعات مهمی درباره فرآیندی که آن را تولید کرده، به ما می‌دهد؟ آیا فرآیند پنهانی شگفت‌انگیزی پشت رقابت‌های قهرمانی لیگ برتر وجود دارد یا این رویداد تنها تصادفی جذاب است؟

فقط مشاهده دنباله فیبوناچی در چیزی، به این معنی نیست که دلیلی خاصی پشت آن وجود دارد. البته، مشاهده این‌گونه تصادف‌ها یا اتفاقات به‌ظاهر غیرمنتظره می‌تواند در فرآیند کشف‌های علمی بسیار مفید باشد. به‌طور مثال، در سال ۱۹۱۲، آلفرد وگنر متوجه شد سواحل غربی آفریقا و سواحل شرقی آمریکای جنوبی مانند قطعات پازل با هم تطابق دارند. این مشاهدات به او کمک کرد نظریه‌ی اشتقاق قاره‌ها را مطرح کند.

در آن زمان اکثر مردم فکر می‌کردند توده‌های خشکی بزرگ قاره‌ها آن‌قدر بزرگ هستند که نمی‌توانند حرکت کنند. اما آلفرد وگنر نظریه‌ای را ارائه داد که توضیح می‌داد چرا این توده‌ها می‌توانند حرکت کنند و این نظریه با مشاهدات او هم‌خوانی داشت. نظریه‌ی رانش قاره‌ای می‌گوید قاره‌ها ثابت نیستند، بلکه می‌توانند به‌طور خیلی آرام در سطح زمین حرکت کنند و موقعیتشان تغییر کند.

وقتی وگنر نظریه‌ی خود را در سال ۱۹۱۵ منتشر کرد، بسیاری از دانشمندان او را مسخره کردند. زمین‌شناسان این نظریه را رد کردند و گفتند توضیحی برای چگونگی حرکت دادن چنین تکه‌های بزرگی از سطح زمین وجود ندارد و تطابق قاره‌ها تصادفی است.

گاهی اوقات اتفاقات تصادفی می‌توانند به کشفیات علمی جدید کمک کنند، اما گاهی نیز می‌توانند باعث گمراهی شوند. در اوایل قرن ۱۹، یوهان فریدریش مکل آناتومیست آلمانی چنین اشتباهی را مرتکب شد.

مکل به ایده‌ای معروف به «زنجیره کلان هستی» یا «نردبان طبیعت» باور داشت که طبق آن، همه موجودات زنده در سلسله‌مراتب ثابتی و منظمی قرار دارند، به این معنی که انسان‌ها بالاترین جایگاه را دارند، درحالی‌که موجودات ساده‌تر و ابتدایی‌تر (مثل موجودات ریز یا گیاهان) در پایین‌ترین سطح قرار می‌گیرند. به‌طور ساده، این دیدگاه می‌گوید همه موجودات زنده مثل پله‌های نردبان هستند و انسان‌ها در بالاترین پله قرار دارند، درحالی‌که موجودات ساده‌تر در پایین‌ترین پله‌ها هستند.

دیدگاه‌های مکل چندان تعجب‌برانگیز نبود، زیرا در آن زمان نظریه‌ی زنجیره بزرگ هستی نظریه‌ی غالب و پذیرفته‌شده‌ی روزگار بود. نظریه‌ای که امروزه به‌طور گسترده پذیرفته شده، یعنی «نَسَب مشترک» در آن زمان هنوز در مراحل اولیه‌ی شکل‌گیری خود قرار داشت. طبق نظریه نسب مشترک، گونه‌های مختلف از یک جمعیت اجدادی مشترک منشأ گرفته‌اند.

مکل برای توضیح تکامل جنین از ایده‌ای نردبان طبیعت استفاده کرد. طبق این ایده، جنین‌ حیوانات پیچیده‌تر (مثل پستانداران) در مراحل رشد خود از شکل‌های اولیه عبور می‌کند که شبیه موجودات ساده‌تر (مثل ماهی‌ها، دوزیستان و خزندگان) است. مکل فرض کرد حین رشد جنین، حیوانات پیشرفته‌تر مانند پستانداران ابتدا از شکل‌های ابتدایی که شبیه به موجودات ساده‌تر هستند (مثل ماهی‌ها) عبور می‌کنند.

طبق نظریه‌ای که مکل مطرح کرده بود، در فرآیند رشد جنین انسان‌ها، زمانی که به مرحله‌ای می‌رسند که شبیه ماهی‌ها می‌شوند (مرحله ماهی)، جنین‌های انسان باید ویژگی‌هایی مانند شکاف‌های آبششی (که ماهی‌ها دارند) داشته باشند.

از قضا، در سال ۱۸۲۷ کشف شد جنین‌ انسان در مراحل اولیه رشد واقعاً شکاف‌هایی شبیه آبشش‌ دارد. این کشف شگفت‌انگیز به‌نظر می‌رسید پیش‌بینی مکل را تأیید می‌کند و «نظریه تکرار فرگشتی» او را تایید می‌کرد. شواهد به‌دست‌آمده آن‌قدر قوی به‌نظر می‌رسیدند که این نظریه به‌طور گسترده پذیرفته شد و تقریباً ۵۰ سال بعد در دهه ۱۸۷۰ بود که نظریه مذکور به‌طور کامل رد شد، زمانی که ایده‌ی نسب مشترک پا گرفت.

تبار مشترک اساس چیزی است که اکنون به‌عنوان نظریه تکامل مدرن می‌شناسیم. این نظریه نشان داد برخلاف تصور وجود یک مرحله ماهی در رحم، شکاف‌های آبششی نتیجه این واقعیت هستند که چون ما با ماهی‌ها نسب مشترک داریم و بخش بزرگی از DNA و فرآیندهای ابتدایی رشد آن‌ها را از اجداد مشترک به ارث برده‌ایم.

گاهی اوقات تصادف‌ها می‌توانند دانشمندان را به اشتباه بیندازند و به‌نظر برسد به نتیجه‌ای خاص می‌رسند، درحالی‌که درواقع توضیح دیگری برای مشاهدات وجود دارد که با شواهد بهتری پشتیبانی می‌شود.

دیدن دنباله‌ی فیبوناچی در جایی غیرمنتظره مانند لیگ برتر فوتبال خیلی جالب است و این فرصتی به ما می‌دهد تا درباره‌ی اهمیت این اعداد فکر کنیم. اما همیشه این‌طور نیست که وقتی الگو یا ترتیبی پیدا می‌کنیم، حتماً دلیل خاصی پشت آن باشد. گاهی اوقات، این الگوها تصادفی هستند و دلیل خاصی برای آن‌ها وجود ندارد.

همانند شکاف‌های آبششی که مکل پیدا کرد و بعد متوجه شد، اشتباه کرده است، دیدن دنباله‌ی فیبوناچی در آمار لیگ برتر نیز فقط یک تصادف است. این تصادف ممکن است در ابتدا خیلی جالب به‌نظر برسد، اما دلیل خاصی برای آن وجود ندارد.