روزهای تولد یکسان؛ مسئله ریاضی غیرمنتظره در طول جام جهانی فوتبال زنان

در روزهای اخیر، درباره‌ی جام جهانی فوتبال زنان در استرالیا مسئله‌ای عجیب مطرح شده است. بسیاری از تیم‌های بین‌المللی دارای بازیکنانی هستند که در یک روز سال به دنیا آمده‌اند یا به عبارتی دارای روزهای تولد یکسان هستند؛ اما دقیقا چرا این اتفاق رخ داده است؟

پدیده‌ای معروف به «مسئله روز تولد» یا «پارادوکس روز تولد» وجود دارد که ریاضی‌دان‌ها دوست دارند از آن برای به‌هم‌ریختن انتظاراتمان استفاده کنند. مسئله معمولا با این پرسش‌ها بیان می‌شود: «چند نفر باید در یک گردهمایی حضور داشته باشند تا احتمال اینکه دست‌کم دو نفر روز تولد یکسان داشته باشند، به بالای ۵۰ درصد برسد؟»

با این فرض منطقی که روزهای تولد تقریبا به‌طور مساوی در طول سال توزیع می‌شوند، پاسخ فقط ۲۳ نفر است؛ زیرا درباره‌ی یک روز تولد خاص نگران نیستیم و تنها انطباق اهمیت دارد. اگر تعداد افراد داخل اتاق ۳۹ نفر باشد، احتمال انطباق روزهای تولد به تقریبا ۹۰ درصد می‌رسد. (در نمودار زیر مشاهده می‌کنید.)

برای رسیدن به این دیدگاه که چرا تعداد افراد لازم برای انطباق روزهای تولد بسیار اندک هستند، می‌توان زوج نفرات داخل اتاق را درنظر گرفت. با توجه به اینکه ۲۳ نفر در اتاق هستند، ۲۵۳ روش مختلف برای قرار دادن آن‌ها در گروه‌های زوجی وجود دارد.

محاسبه‌ی دقیق احتمال انطباق اندکی پیچیده است اما با وجود ۲۳ نفر، ۲۵۳ احتمال زوج شدن وجود دارد در نتیجه عجیب نیست که احتمالا انطباق روز تولد یکی از زوج‌ها به بالای ۵۰ درصد برسد. بر اساس چنین محاسباتی، اگر تعداد افراد بیشتر از ۵۰ نفر باشد، احتمال مشترک بودن روز تولد به بالای ۹۷ درصد می‌رسد.

پژوهشگرها با بررسی داده‌ها به این نتیجه رسیدند که ۱۷ از ۲۳ تیم حداقل دارای دو بازیکن با تاریخ تولد یکسان هستند. به شکل جالبی تنها یک زوج بازیکن پانامایی به نام‌های کارمن مونتنگرو و لینت سدنو دقیقا در یک روز و یک سال به دنیا آمدند (۵ دسامبر ۲۰۰۰). سه تیم ورزشی (برزیل، کلمبیا و دانمارک) دارای دو زوج بازیکن با روزهای تولد یکسان و دو تیم مراکش و نیجریه حتی دارای سه زوج بازیکن با چنین شرایطی بودند. زوج بازیکن‌های نیجریه‌ای، گلوری اوگبونا و کریستی اوچیبه در روز کریسمس به دنیا آمدند که دومین روز تولد رایج در میان تمام تیم‌ها بود، به گونه‌ای که در مجموع هفت نفر در چنین روزی به دنیا آمدند.

در نیمه‌نهایی دوم، بازیکنانی با روزهای تولد یکسان در مقابل هم قرار گرفتند. بازیکنان ذخیره الکس چیدیاک (از استرالیا) و کلو کلی (از انگلستان) هر دو در ۱۵ ژانویه به دنیا آمدند و کلی دقیقا یک سال از همزاد خود بزرگ‌تر بود. بازیکن هافبک، جوردن نابز و بازیکن رقیب فوروارد او اشتر گنزالز هر دو دقیقا در روز ۸ دسامبر ۱۹۹۲ به دنیا آمدند.

دانشمندان در مجموع ۲۴ جفت روز تولد یکسان در تیم‌ها پیدا کردند. در واقع سوم مارس تاریخ تولید زوج بازیکن دانمارکی (سیمون بوی سورنسن و لونا گویتز) و زوج بازیکن کلمبیایی (ساندرا سپولودا و دیانا اوسپینا گارسیا) است. بر اساس نتایج، ۳ مارس یکی از رایج‌ترین روزهای تولد در میان تمام تیم‌ها است، به طوری که ۹ بازیکن این تاریخ تولد را دارند.

جدا از فوتبال، مسئله‌ی روز تولد یکسان می‌تواند به ما در توصیف تناقض‌های موجود در زمینه‌های دیگر هم کمک کند. در سال ۲۰۰۱، دانشمندان حین جستجو در پایگاه‌داده‌ی DNA ایالت آریزونا که شامل ۶۵٬۴۹۳ نمونه بود، انطباقی نسبی را بین دو پرونده‌ی DNA غیرمرتبط کشف کردند. برای دو شخص غیرمرتبط تنها انتظار داریم این اتفاق به ازای هر ۳۱ میلیون زوج پرونده رخ دهد. این یافته‌ی حیرت‌انگیز که در یک کنفرانس علمی هم ارائه شد، به زمینه‌ای برای جستجوی انطباق‌های احتمالی بیشتر تبدیل شد. با مقایسه تمام پرونده‌های پایگاه داده، ۱۲۲ زوج با درجه‌ی مشابه یا درجه‌ی بیشتری از شباهت شناسایی شدند.

بر اساس پژوهش یادشده و شک نسبت به منحصر‌به فرد بودن شاخص‌های DNA، وکیل‌های ایالات متحده به دنبال مقایسه‌های مشابهی در پایگاه‌داده‌های دیگر DNA مثل پایگاه‌داده‌ی DNA ملی رفتند که شامل ۱۱ میلیون نمونه است. اگر ۱۲۲ انطباق در پایگاه‌داده‌ای به کوچکی ۶۵ هزار نفر پیدا شوند، آیا DNA می‌تواند به عنوان مدرکی برای شناسایی هویت افراد در کشوری با جمعیت ۳۰۰ میلیون نفر به کار برود؟ آیا احتمال‌های مرتبط با پروفایل‌های DNA اشتباه هستند و آیا امنیت محکومیت‌های مبتنی بر DNA را به خطر می‌اندازند؟ برخی وکلا معتقدند که این خطر وجود دارد و حتی یافته‌های آریزونا را به عنوان مدرکی برای زیر سؤال بردن شواهد DNA در آزمایش موکل‌های خود ارائه دادند.

مقایسه‌ی ۶۵٬۴۹۳ نمونه در پایگاه‌داده‌ی آریزونا با هر یک از نمونه‌های دیگر در مجموع بیش از دو میلیارد زوج منحصر‌به فرد ارائه خواهد داد. با احتمال یک انطباق به ازای ۳۱ میلیون پرونده‌ی غیرمرتبط، دست کم ۶۸ انطباق نسبی به دست خواهد آمد. تفاوت بین ۶۸ انطباق قابل انتظار و ۱۲۲ انطباق به‌دست‌آمده این است که می‌توان آن را به راحتی بر اساس پرونده‌ی خویشاوندان نزدیک در پایگاه داده توجیه کرد. به‌جای اینکه اعتماد خود به شواهد DNA را از دست بدهیم، می‌توانیم یافته‌های پایگاه داده را با مسئله‌ی روز تولد مقایسه کنیم.

تعداد بسیار زیادی از ترکیب‌های زوجی که بر اساس مسائل روز تولد به وجود می‌آیند، می‌توانند احتمال رویدادهای به ظاهر بعید را بالا ببرند. لازم به یادآوری است که در موقعیت‌های این چنینی، احتمال‌های کافی برای وقوع یک رویداد وجود دارند. حتی اگر احتمال هر کدام از آن‌ها به نظر پایین بیاید، می‌توانند رویدادهای به ظاهر غیرمحتمل را کاملا عملی کنند.