سفر به بُعد چهارم؛ جایی که قوانین فیزیک از کار می‌افتد

بُعد چهارم، جایی‌ است که قوانین آشنا دیگر کار نمی‌کنند. در این فضا، شهود انسانی فریب می‌خورد، مفاهیم ساده‌ای مثل گره‌خوردگی یا تقارن، معنای خود را از دست می‌دهند و آنچه در سه بُعد ممکن نیست، ناگهان ممکن می‌شود. گویی وارد جهانی شده‌ایم که نه‌تنها ناپیداست، بلکه ذهن‌مان را به بازی می‌گیرد و ما را وامی‌دارد همه‌چیز را از نو بفهمیم.

این بُعد مرموز، پلی به سوی درک عمیق‌تری از فضا، زمان و ساختار پنهان جهان است. در چهار بُعد، واقعیت شکل تازه‌ای به خود می‌گیرد، واقعیتی که هم خیال‌انگیز است و هم علمی، هم انتزاعی و هم بی‌اندازه مهم. آماده‌اید به جایی قدم بگذارید که هیچ‌چیز آن‌طور که به‌نظر می‌رسد، نیست؟

وقتی پا به دنیای چهار بُعدی می‌گذاریم، شهود ما از کار می‌افتد، نه اینکه فقط ناپدید شود، بلکه مسیر را کاملاً اشتباه نشان می‌دهد. مسئله این نیست که چیزی نمی‌فهمیم؛ بدتر از آن است: فکر می‌کنیم می‌فهمیم، اما برداشت‌مان غلط است.

چهار بعد، قلمرویی است که در آن، دیگر نمی‌توان روی حس درونی حساب کرد. مثلاً در فضای سه‌بعدی، می‌توانیم یک گره را باز کنیم، اما در چهار بعد، ممکن است همان گره هرگز باز نشود یا برعکس، گره‌هایی که در سه‌بعد باز نمی‌شوند، ناگهان در چهار بُعد حل شوند.

ریاضیدان‌ها به‌طور خاص به توپولوژی چهار‌بعدی علاقه‌مندند، چون رفتار اشیاء در این فضا نه‌تنها با ابعاد پایین‌تر، بلکه حتی با ابعاد بالاتر نیز فرق دارد. بله، عجیب است، اما چهار بعد، پایین‌ترین بعدی‌ است که هنوز درکش برای ما کامل نیست.

برای همین، حتی بعد از نوشتن یک مقاله‌ی علمی، ریاضیدان‌ها چند روز به این فکر می‌کنند که: «نکند همه‌اش اشتباه باشد؟!». در این فضا باید شهود را کنار گذاشت و فقط با تکیه بر تعریف‌ها، قضیه‌ها و منطق، پیش رفت. چون هر حدسی که بر پایه‌ی درک بصری‌مان باشد، به‌احتمال زیاد اشتباه است. حالا سؤال اصلی این است: توپولوژی چهار بعدی چیست؟ و این دقیقاً همان جایی‌ است که عجایب شروع می‌شوند.

مهدیه یوسفی

فراکتال‌ به زبان ساده؛ الگوی شگفت‌انگیز کاشی ایرانی، رعدوبرق و آنتن موبایل!

مطالعه '29

توپولوژی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی «فضاهای انتزاعی» می‌پردازد؛ فضاهایی که لزوماً شبیه دنیای روزمره‌ی ما نیستند و ممکن است رفتارهای عجیب و غریبی داشته باشند. ازآنجاکه این فضاها می‌توانند خیلی پیچیده و نامأنوس باشند، ریاضیدان‌ها معمولاً تمرکزشان را روی دسته‌ای خاص از این فضاها به‌نام منیفولد (manifold) می‌گذارند که با جهان فیزیکی ما بیشتر هم‌خوانی دارند.

منیفولدها فضاهایی هستند که اگر از نمایی بسیار نزدیک به آن‌ها نگاه کنیم، کاملاً شبیه فضای آشنای اطراف‌مان دیده می‌شوند، مانند یک خط، یک صفحه یا فضای سه‌بعدی. به این نوع فضاها، فضای اقلیدسی گفته می‌شود؛ همان فضایی که در مدرسه با آن آشنا می‌شویم. ویژگی جالب منیفولدها آن است که در مقیاس کوچک، همگی ظاهر یکسانی دارند. اما زمانی که از دور به آن‌ها نگاه کنیم و ساختار کلی‌شان را بررسی کنیم، ممکن است تفاوت‌های بنیادی و بسیار چشم‌گیری در آن‌ها دیده شوند.

به‌عنوان مثال، سطح کره و سطح دونات (شبیه حلقه) هر دو از نزدیک شبیه یک صفحه‌ی صاف به نظر می‌رسند. اما در مقیاس بزرگ، یکی بسته و گرد است و دیگری سوراخ دارد و این تفاوت‌های جهانی، همان چیزی است که توپولوژی به آن علاقه دارد.

همین تمایزهای ساختاری، پایه‌ی بسیاری از پیشرفت‌ها در ریاضیات و فیزیک مدرن شده‌اند. به‌عنوان مثال، در نظریه‌ی نسبیت عام اینشتین، فضا-زمان به‌صورت یک منیفولد چهاربعدی در نظر گرفته و انحنایش توسط جرم و انرژی تعیین می‌شود.

توپولوژی، فراتر از یک شاخه‌ی انتزاعی، به ابزاری قدرتمند برای درک ساختار پنهان فضا، زمان و حتی داده تبدیل شده است.

منیفولد یک‌بعدی فضایی است که اگر از خیلی نزدیک به هر نقطه‌اش نگاه کنیم، دقیقاً شبیه یک خط صاف به نظر می‌رسد. یعنی در مقیاس محلی، انگار به یک خط معمولی نگاه می‌کنیم. مثلاً دایره را در نظر بگیرید. دایره در نگاه کلی یک منحنی بسته است و اصلاً شبیه خط نیست. اما اگر روی قسمتی کوچک زوم کنیم، آن قسمت کوچک درست مثل یک خط صاف دیده می‌شود.

تصور منیفولدهای دو‌بعدی خیلی راحت‌تر است، چون سطح هستند. به مرز بیرونی یک توپ، کُره می‌گوییم. کره‌ای مانند سطح بیرونی زمین، یک منیفولد دوبُعدی است. با اینکه زمین تخت نیست، اما این خمیدگی از نگاه ما پنهان می‌ماند. چرا؟ چون وقتی فقط بخشی کوچک از سطح زمین را ببینیم، آن قسمت برایمان کاملاً صاف به نظر می‌رسد، درست مثل یک صفحه‌ی تخت.

اکنون تصور کنید مورچه‌ای روی یک توپ بسکتبال راه می‌رود. این مورچه می‌تواند به جلو و عقب یا چپ و راست حرکت کند، اما از دید خودش، روی یک دنیای بی‌نهایت صاف و بی‌پایان زندگی می‌کند. او اصلاً متوجه نمی‌شود که روی یک سطح خمیده و کروی ایستاده است.

اینجاست که مفهوم منیفولد دوبعدی معنا پیدا می‌کند: فضایی که از نزدیک، صاف و آشنا به‌نظر می‌رسد، اما در مقیاس بزرگ‌تر، ممکن است ساختاری کاملاً متفاوت و پیچیده داشته باشد.

منیفولد سه‌بعدی، بیشتر شبیه همان فضایی است که هر روز در آن زندگی می‌کنیم. در واقع، همین حالا در دل یک منیفولد سه‌بعدی قرار داریم.

البته فقط بخش بسیار کوچکی از جهان را می‌بینیم و واقعاً نمی‌دانیم که آیا فضا تا بی‌نهایت ادامه دارد یا شکل کلی‌اش چگونه است. اما این موضوع چیزی را تغییر نمی‌دهد. همین که در هر لحظه می‌توانیم در سه جهت مستقل حرکت کنیم، جلو و عقب، چپ و راست، بالا و پایین، یعنی در فضایی سه‌بعدی هستیم.

این سه جهتِ کاملاً عمود بر یکدیگر، همان چیزی هستند که فضای ما را سه‌بعدی می‌کنند. بنابراین، حتی اگر چیزی از شکل کلی و نهایی جهان ندانیم، همین تجربه‌ی مستقیم ما از حرکت در این سه بُعد، نشان می‌دهد که درون یک منیفولد سه‌بعدی زندگی می‌کنیم.

منیفولد چهار‌بعدی، شبیه فضای سه‌بعدی آشنای ماست، با این تفاوت که یک بُعد کاملاً جدید و مستقل هم به آن اضافه شده، بُعدی که از نظر ریاضی عمود بر هر سه جهت دیگر است.

در یک منیفولد چهار‌بعدی، شما می‌توانید از هر نقطه‌ای، حرکت خود را آغاز کنید و مانند همیشه به جلو و عقب، چپ و راست، یا بالا و پایین بروید. اما حالا یک بُعد جدید هم به این فضا اضافه شده است، بُعدی که نام مشخصی ندارد، اما می‌توان آن را چیزی شبیه ِحرکت به جلو و عقب در زمان تصور کرد. این بُعد چهارم، بر سه جهت فضایی عمود است. یعنی حرکت در این بُعد، موقعیت شما را در فضا تغییر نمی‌دهد، بلکه شما را در یک راستای کاملاً متفاوت جابه‌جا می‌کند.

برای درک بهتر این مفهوم، یک فیلم را تصور کنید. قبل از اینکه فیلم شروع شود، شما در لحظه‌ی صفر زمان قرار دارید. اطرافتان یک فضای سه‌بعدی کامل است. اما به‌محض اینکه دکمه‌ی پخش را بزنید، زمان شروع به حرکت می‌کند. عددی که گوشه‌ی پایین صفحه، نمایش داده می‌شود، به‌تدریج افزایش می‌یابد. در هر لحظه‌ای که فیلم را متوقف کنید، باز هم همان فضای سه‌بعدی اطراف شما وجود دارد، اما حالا مقدار زمان تغییر کرده است.

این دقیقاً همان معنای فضای چهار‌بعدی است: شما یک فضای سه‌بعدی دارید که در هر لحظه وجود دارد، اما در کنار آن، یک بُعد دیگر هم دارید که تغییرش فقط در زمان رخ می‌دهد. این بُعد جدید، نه مکانی است و نه قابل دیدن با چشم؛ بلکه یک مسیر کاملاً مستقل است که ما آن را زمان می‌نامیم.

در ریاضیات، اگر یک فضا در مقیاس کوچک، کاملاً شبیه فضای چهار‌بعدی اقلیدسی باشد، یعنی جایی که بتوان در چهار جهت مستقل حرکت کرد، به آن منیفولد چهار‌بعدی گفته می‌شود. این نوع فضاها از نزدیک ساده و قابل فهم‌ هستند، اما ساختار کلی آن‌ها می‌تواند بسیار پیچیده و شگفت‌انگیز باشد.

توپولوژی چهار‌بعدی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی منیفولدهای چهار‌بعدی می‌پردازد، فضاهایی که در هر نقطه، اگر از نزدیک به آن‌ها نگاه کنیم، شبیه فضای چهار‌بعدی اقلیدسی هستند. این نوع فضاها محدود به یکی‌ یا دو نمونه نیستند؛ بلکه تنوع بسیار زیادی دارند و ریاضیدان‌ها مدام در حال توسعه‌ی روش‌های جدید برای درک و تحلیل آن‌ها هستند.

در این مسیر، توپولوژی چهار‌بعدی فقط به ریاضیات محدود نمی‌شود؛ بلکه با شاخه‌های مختلفی از علم، از جمله فیزیک نظری، معادلات دیفرانسیل جزئی و هندسه‌ی مختلط، ارتباط عمیقی دارد. به‌عنوان مثال، فرض کنید در حال انجام یک آزمایش علمی هستید و چهار متغیر مختلف را اندازه‌گیری می‌کنید. هر داده‌، دقیقاً یک نقطه در فضای چهار‌بعدی خواهد بود. این فضا لزوماً فیزیکی نیست، اما از نظر ریاضی، رفتاری شبیه یک منیفولد چهار‌بعدی دارد.

در عمل، چون امکان مشاهده‌ی مستقیم فضای چهار‌بعدی وجود ندارد، معمولاً برای تجسم آن از مجموعه‌ای از تصاویر سه‌بعدی پشت‌سر‌هم استفاده می‌شود. این روش، یکی از مؤثرترین و منطقی‌ترین راه‌ها برای تصویرسازی فضای چهار‌بعدی در ذهن و روی کاغذ است.

بااین‌حال، باید حواسمان باشد: اگرچه در ذهن‌مان بُعد چهارم را معمولاً به عنوان «زمان» می‌شناسیم و کمی ویژه به آن نگاه می‌کنیم، اما از دید توپولوژی، هیچ بُعدی نسبت به بقیه خاص‌تر نیست. همه‌ی جهت‌ها، کاملاً برابرند و هیچ‌کدام بر دیگری برتری ندارد.

این تقارن کامل، یکی از شگفتی‌های توپولوژی چهار‌بعدی است، جایی که شهود انسانی کم‌کم عقب‌نشینی می‌کند و جای خود را به منطق خالص می‌دهد. درادامه، سراغ یک نمونه‌ی خاص و جالب از منیفولد چهار‌بعدی می‌رویم، فضایی که فقط یک فضای ساده و اقلیدسیِ معمولی نیست، بلکه ساختاری متفاوت و پیچیده دارد و ما را با رفتارهایی شگفت‌انگیز در دنیای چهار‌بعدی آشنا می‌کند.

برای این‌که به فضای چهار‌بعدی برسیم، بهتر است از منیفولدهای ساده‌تر شروع کنیم و کم‌کم با استفاده از تشبیه و الگو‌سازی، به ابعاد بالاتر برویم.

پس از ساده‌ترین حالت شروع می‌کنیم: یک منیفولد یک‌بعدی، یعنی دایره. شاید در نگاه اول، دایره خیلی ساده به نظر برسد، اما ساختنش از یک ایده‌ی جالب شروع می‌شود. تصور کنید یک پاره‌خط دارید، خطی صاف، به‌صورت نشان داده شده در تصویر زیر که دو سر آن باز است و شباهتی به دایره ندارد. حالا قانونی جدید اضافه می‌کنیم: اگر از سمت چپ پاره‌خط خارج شدید، باید از سمت راست دوباره وارد شوید و بالعکس.

این یعنی دو سر پاره‌خط را، که در ظاهر از هم جدا هستند، یکی فرض می‌کنیم. انگار داریم سر و ته یک نوار را به هم می‌چسبانیم. با این تصور، آنچه به دست می‌آید دقیقاً یک دایره است. به‌زبان ریاضی، این فضا همان منیفولد یک‌بعدی‌ای است که به دنبال آن بودیم.

این روش ساده اما قدرتمند، پایه‌ی ساخت منیفولدهای پیچیده‌تر است. درادامه، همین ایده را گسترش می‌دهیم تا یک منیفولد دو‌بعدی و سپس سه‌بعدی بسازیم و بعد از آن، با استفاده از همان الگو، سراغ منیفولد چهار‌بعدی خواهیم رفت، جایی که شگفتی‌ها شروع می‌شوند.

در ادامه به سراغ یک منیفولد دوبعدی می‌رویم؛ یعنی یک سطح. یکی از شناخته‌شده‌ترین نمونه‌های این نوع فضا، چنبره (Torus) است؛ همان شکلی که شبیه دونات یا حلقه به نظر می‌رسد. توجه داشته باشید که منظور ما حجم داخلی دونات نیست، بلکه فقط سطح بیرونی آن است، همان لایه‌ای که معمولاً با شکلات یا خامه پوشیده می‌شود. چون فقط این سطح را در نظر می‌گیریم، با یک فضای کاملاً دوبعدی سروکار داریم.

چگونه می‌توانیم این سطح را بسازیم؟ از همان ایده‌ای استفاده می‌کنیم که برای دایره به کار بردیم، اما این‌بار در دو بُعد. در یک بُعد، کار را با پاره‌خط شروع کردیم؛ در دو بُعد، یک مربع را در نظر می‌گیریم.

در نگاه اول، مربع هیچ شباهتی به دونات ندارد. اما بیایید همان قانون جالبی را که برای ساخت دایره استفاده کردیم، اینجا نیز اعمال کنیم. دو ضلع عمودی مربع را در نظر بگیرید. فرض کنید اگر از ضلع چپِ مربع خارج شدید، دوباره از سمت راست وارد می‌شوید و برعکس. با این فرض، نقاطی که در ظاهر روی دو ضلع متفاوت قرار دارند، یک نقطه در نظر گرفته می‌شوند؛ یعنی دو ضلع چپ و راست را برابر در نظر می‌گیریم. برای درک بهتر، یک تکه کاغذ مربع‌شکل را تصور کنید. اگر لبه‌ی چپ را به لبه‌ی راست بچسبانید، نتیجه چه می‌شود؟ یک لوله یا استوانه.

کار هنوز کار تمام نشده است، چون مربع چهار ضلع، اما پاره‌خط فقط دو سر دارد. درادامه، سراغ ضلع‌های باقی‌مانده، یعنی بالا و پایین می‌رویم. قانون گفته شده را این‌جا نیز اعمال می‌کنیم: اگر از ضلع بالای مربع خارج شویم، از پایین پایین دوباره وارد می‌شویم و برعکس.

درنتیجه، باید لوله‌ای که قبلاً ساخته‌ایم را به‌گونه‌ای خم کنیم که دو لبه‌ی بالا و پایین نیز به هم بچسبند. با انجام این کار، یعنی خم کردن لوله و اتصال دو سر باز آن به یکدیگر، دقیقاً به همان سطح دوناتی‌شکل که هیچ لبه‌ی باز و جداگانه‌ای ندارد، می‌رسیم.

با اعمال یک قانون ساده روی مربع، توانستیم یک سطح پیچیده و بسته را بسازیم، منیفولد دو‌بعدی‌ای که از نظر ریاضی جالب و از نظر تصویری به‌خوبی قابل درک است.

احتمالاً ادامه‌ی مسیر را حدس زده‌اید. قرار است همین ایده را یک مرحله‌ی دیگر تکرار کنیم؛ این‌بار برای ساخت یک منیفولد سه‌بعدی یا چنبره‌ی سه‌بعدی. اما برخلاف دایره یا چنبره‌ی دوبعدی، دیگر نمی‌توانیم آن را تصور یا ترسیم کنیم، چون چنین جسمی در فضای سه‌بعدی ما جا نمی‌گیرد. تمام ساختار آن را نمی‌توان یک‌جا دید یا تجسم کرد. به‌همین‌دلیل ساخت آن را با الگوسازی از ابعاد پایین‌تر انجام می‌دهیم.

از یک مکعب توپر (مثل یک جعبه) شروع می‌کنیم، که نقش همان پاره‌خط یا مربع را در یم یا دو بُعد بازی می‌کند. با اعمال قانون مشابهی که برای پاره‌خط و مربع استفاده کردیم، فرض می‌کنیم اگر از سقف جعبه خارج شویم، از کف آن دوباره وارد می‌شویم، یعنی همه‌ی نقاط بالایی را با نقاط پایینی یکی در نظر می‌گیریم. اگر این روند آشنا به‌نظر می‌رسد، دلیلش روشن است: مثل منطق بسیاری از بازی‌های ویدیویی که اگر از یک طرف صفحه بیرون بروید، از طرف دیگر برمی‌گردید.

در مرحله‌ی بعد، همین قاعده را برای وجه‌های چپ و راست مکعب اعمال می‌کنیم؛ یعنی این دو وجه را یکی در نظر می‌گیریم. سپس نوبت وجه‌های جلو و پشت است، آن‌ها هم روبه‌روی یکدیگر قرار دارند و به‌هم متصل می‌شوند.

در واقع، اینجا نیز دقیقاً همان کاری را انجام می‌دهیم که قبلاً با مربع، برای ساخت چنبره‌ی دوبعدی کرده بودیم، اما این‌بار در سه‌بعد. با این کار، هنوز هم با یک فضای کاملاً سه‌بعدی سروکار داریم؛ تغییری در تعداد بُعدها ایجاد نمی‌شود. اما دیگر هیچ گوشه‌ی باز یا سطحی جداگانه باقی نمی‌ماند و فضا به‌طور کامل بسته و بدون مرز شده است.

به چنین فضایی چنبره‌ی سه‌بعدی می‌گویند، یک منیفولد سه‌بعدی که می‌توان آن را فقط با کمک ریاضیات و تخیل و نه با ترسیم واقعی، درک کرد. این ساختار، پیش‌زمینه‌ی مهمی برای ورود به دنیای عجیب‌ترِ منیفولدهای چهار‌بعدی است.

اکنون به مرحله‌ی آخر می‌رسیم: ساختن چنبره‌ی چهار‌بعدی. شاید تصور این فضا سخت باشد، اما قدم‌به‌قدم با استفاده از تشبیه و ساختار منظم پیش آمده‌ایم تا بتوانیم آن را بفهمیم. ایده از یک جعبه‌ی چهار‌بعدی شروع می‌شود. البته نمی‌توانیم چنین چیزی را مستقیماً ببینیم، اما می‌توانیم آن را مثل یک فیلم تصور کنیم: چند جعبه‌ی سه‌بعدی پشت‌سر‌هم که هرکدام در یک لحظه‌ی زمانی خاص قرار دارند.

در این‌جا می‌توان تِسِرکت را به‌عنوان یک الگو در نظر گرفت؛ تسرکت از هشت مکعب سه‌بعدی ساخته شده است که در راستای بُعد چهارم به هم متصل شده‌اند. هر مکعب، نمایانگر یک وضعیت سه‌بعدی در نقطه‌ای متفاوت از بُعد چهارم است. ساختاری که در ادامه با آن روبه‌رو می‌شویم، بر پایه‌ی همین ایده شکل می‌گیرد.

ابتدا یک جعبه‌ی سه‌بعدی در زمان T = 0، بعد جعبه‌ای دیگر در زمان T = 1 و سپس یکی دیگر در زمان T = 2 داریم. فرض می‌کنیم زمان فقط بین صفر تا دو حرکت می‌کند. به این ترتیب، سه جعبه‌ی سه‌بعدی داریم که پشت‌سر‌هم در بُعد زمان چیده شده‌اند. برای تبدیل این ساختار به یک منیفولد چهار‌بعدی بسته، همان کاری را انجام می‌دهیم که قبلاً در ابعاد پایین‌تر انجام داده بودیم: تمام وجه‌های روبه‌رو را به هم متصل می‌کنیم.

اگر از سقف این فضای چهاربعدی بیرون برویم (در هر زمانی)، باید از کف همان موقعیت دوباره وارد شویم. بنابراین، وجه‌های بالا و پایین به هم چسبیده می‌شوند. به‌همین ترتیب، وجه‌های سمت راست و چپ را هم به هم وصل می‌کنیم. سپس، وجه‌های جلو و پشت را نیز یکی در نظر می‌گیریم. اما هنوز یک بُعد دیگر باقی مانده: زمان. اگر در این فضا از آخرین لحظه‌ی زمانی، یعنی T = 2 فراتر برویم، چه اتفاقی می‌افتد؟

فرض کنید در یک فضای چهار‌بعدی زندگی می‌کنید. اگر در این فضا تا انتهای زمان، یعنی لحظه‌ی T = 2 پیش و بخواهید باز هم جلوتر بروید، از فضا خارج نمی‌شوید. بلکه درست مانند بُعدهای فضایی، از سوی دیگر زمان بازمی‌گردید، یعنی دوباره به T = 0 برمی‌گردید.

به‌زبان ساده، در این فضا زمان هم رفتاری حلقه‌ای دارد، درست مثل بالا و پایین یا چپ و راست. همان‌طور که در فضا، خروج از یک طرف باعث ورود از طرف مقابل می‌شود، در بُعد زمان نیز همین الگو برقرار است.

با اعمال این قاعده در هر چهار بُعد، سه بُعد فضا و یک بُعد زمان، به یک ساختار کاملاً بسته و بدون مرز می‌رسیم، که در ریاضیات به آن چنبره‌ی چهار‌بعدی گفته می‌شود؛ منیفولدی شگفت‌انگیز که از هر طرف آن بروید، همیشه به نقطه‌ای دیگر در همان فضا بازمی‌گردید.

در این‌جا تفاوت میان تسرکت و چنبره‌ی چهار‌بعدی مشخص می‌شود. تسرکت ساختاری باز و هندسی دارد، ولی در چنبره‌ی چهار‌بعدی، همه‌ی وجه‌ها، حتی بُعد زمان، به‌صورت حلقه‌ای به هم متصل می‌شوند تا فضایی کاملاً بسته و بدون مرز به‌وجود بیاید.

توپولوژی چهاربعدی، دنیایی شگفت‌انگیز و رازآلود دارد؛ قلمرویی که قواعد آشنای ریاضی را به بازی می‌گیرد و در دل خودش پدیده‌هایی را پنهان کرده است که در هیچ بُعد دیگری دیده نمی‌شوند. این جهان نه‌تنها با ریاضی ابعاد بالاتر فرق دارد، بلکه اتفاقاتی در همین بُعد چهارم رخ می‌دهند که قوانین شناخته‌شده را زیر سؤال می‌برند.

فرض کنید یک دایره در اختیار داریم. اگر آن را به‌آرامی از کناره‌ها بکشیم، به‌طوری‌که نه گوشه‌ای در آن ایجاد شود و نه پیوستگی‌اش از بین برود، شکل حاصل به‌تدریج به یک بیضی تبدیل خواهد شد. این تغییر شکل، یک تغییر نرم یا هموار به شمار می‌آید.

اما می‌توانیم مسیر متفاوتی را نیز در پیش بگیریم: ابتدا دایره را کمی تا کنیم تا لبه‌هایی زاویه‌دار در آن ایجاد شوند، سپس آن را به‌شکلی شبیه مربع تبدیل و درنهایت، با صاف‌کردن گوشه‌ها و کشیدن اضلاع، شکل را به یک بیضی نزدیک کنیم. این فرایند نیز پیوسته است، اما دیگر نمی‌توان آن را «نرم» دانست، زیرا در میانه‌ی مسیر، ناپیوستگی‌های ظریفی ظاهر می‌شوند.

وقتی وارد دنیای چهار بُعدی می‌شویم، ماجرا کاملاً عوض می‌شود. در این فضا، گاهی نمی‌توان دو شکل هندسی (یا منیفولد) را بدون ایجاد گوشه و تیزی به هم تبدیل کرد. یعنی برای اینکه یکی را به دیگری تبدیل کنیم، مجبور می‌شویم در مسیر کار، نرمیِ شکل را قربانی و گوشه‌هایی به آن اضافه کنیم.

در چنین حالتی، این دو فضا همچنان از نظر توپولوژیکی پیوسته هستند، یعنی می‌توان یکی را بدون بریدن یا چسباندن به دیگری تبدیل کرد، اما این تبدیل دیگر نرم و هموار نیست یا همه‌جا مشتق‌پذیر و صاف باقی نمی‌ماند.

جالب‌تر اینکه در فضای چهار‌بعدی، تعداد بی‌نهایت منیفولد وجود دارند که از نظر پیوستگی با هم یکسان‌ هستند ولی از نظر نرمی تفاوت دارند. این یکی از شگفت‌انگیزترین ویژگی‌های خاص بُعد چهارم است و دقیقاً به‌همین‌دلیل توپولوژی چهاربعدی به یک شاخه‌ی مستقل و پررمزوراز تبدیل شده است، جایی که تفاوت بین «پیوسته بودن» و «نرم بودن» دیگر ساده و بدیهی نیست.

ممکن است از خود بپرسید: «وقتی نه می‌شود از بُعد چهارم برای سفر در زمان استفاده کرد، نه حتی آن را دید، پس دانستنِ آن چه فایده‌ای دارد؟». شناخت ابعاد بالاتر، به‌ویژه بُعد چهارم، فقط یک کنجکاوی ریاضی نیست؛ بلکه کلیدی برای گشودن درهای تازه به سوی مفاهیمی عمیق در ریاضیات، فیزیک، کیهان‌شناسی و حتی درک بهتر از خودِ جهان و جایگاه‌مان در آن است.

در دنیای ریاضیات، به‌ویژه در هندسه، درک فضاهای چهاربعدی و بالاتر، نقشی بنیادین دارد. این فضاهای انتزاعی، حتی اگر مستقیماً قابل‌تصور نباشند، توانایی ذهن ما را برای حل مسائل پیچیده گسترش می‌دهند. به‌عنوان مثال، مفهوم مکعب چهار‌بعدی یا تسرکت، ابزاری است که ریاضیدانان از آن برای کاوش در ساختارهایی فراتر از فضای سه‌بعدیِ آشنا استفاده می‌کنند. این جهان‌های نامرئی و پیچیده ذهن را به چالش می‌کشند، اما در مقابل، درک ما از ریاضیات را دگرگون می‌سازند.

در فیزیک، بُعد چهارم با زمان یکی شده است؛ یعنی همان چیزی که در نظریه‌ی نسبیت اینشتین، فضا-زمان نام دارد. بدون در نظر گرفتن زمان به‌عنوان یک بُعد، نمی‌توان رفتار اجسام، نور یا حتی گرانش را به‌درستی توضیح داد. نظریه‌ی نسبیت عام، گرانش را نه به‌عنوان یک نیرو، بلکه به‌صورت خم‌شدن بافت فضا-زمان توسط جرم توصیف می‌کند و این خمیدگی، دقیقاً وابسته به وجود زمان در کنار سه بُعد فضا است.

مهدیه یوسفی

نسبیت خاص به زبان ساده؛ داستانی از پیوندهای نامرئی جهان

مطالعه '26

جالب است بدانید که همین مفهوم پیچیده، پایه‌ی بسیاری از فناوری‌های روزمره‌مان است. مثلاً سیستم GPS بدون در نظر گرفتن دقیق زمان، همان بُعد چهارم، قادر به مکان‌یابی درست نیست. ساعت‌های اتمی، شبکه‌های مخابراتی و حتی محاسبات بانکی بین‌المللی همگی به فهم دقیق از زمان وابسته‌اند.

مرجان شیخی

حل بزرگ‌ترین معمای هستی: آیا زمان یک توهم است؟

مطالعه '19

در کیهان‌شناسی، بُعد چهارم راه را برای کشف رازهای بزرگ جهان باز کرده است. از درک بیگ‌بنگ (Big Bang) تا بررسی انبساط کیهان، شکل‌گیری کهکشان‌ها و ستاره‌ها، همه و همه بدون درک زمان به‌عنوان بُعدی بنیادی، ناقص باقی می‌مانند.

درنهایت، بُعد چهارم فقط یک ابزار علمی نیست؛ بلکه پرسش‌هایی عمیق درباره‌ی ماهیت زمان، واقعیت و جایگاه ما در جهان را برمی‌انگیزد. این مفهوم، ذهن را از چارچوب‌های روزمره بیرون می‌کشد و دعوت می‌کند تا جهان را از زاویه‌ای دیگر ببینیم.

سؤالات بزرگ و بی‌پاسخ، همیشه از جذاب‌ترین بخش‌های ریاضیات بوده‌اند، پرسش‌هایی که مرزهای فهم ما را به چالش می‌کشند و نگاه‌مان را به ناشناخته‌ها باز می‌کنند. یکی از این پرسش‌ها معمولاً این است: آیا می‌توان جسمی ریاضی پیدا کرد که ویژگی خاص و غیرمنتظره‌ای داشته باشد؟

اگر پاسخ منفی باشد، همین «نه» خود آغازگر مسیر تازه‌ای برای بررسی دقیق‌تر می‌شود؛ مسیری که می‌کوشد نشان دهد چرا چنین چیزی نمی‌تواند وجود داشته باشد. اما اگر پاسخ مثبت باشد، گام بعدی معمولاً ساختن نمونه‌ای مشخص از آن است، ترجیحاً به‌صورت تصویری یا هندسی، تا بتوان آن را بهتر درک کرد.

این رویکرد، به‌ویژه در توپولوژی چهاربعدی اهمیت زیادی دارد؛ زیرا در این فضا، ساختن نمونه‌های عینی و قابل‌تصور، یکی از مؤثرترین راه‌ها برای فهم ساختارهایی است که در نگاه اول، عجیب، انتزاعی و دور از شهود به‌نظر می‌رسند.