ریاضی‌دان‌ها روشی جدید برای شمارش اعداد اول کشف کردند

اثباتی جدید، ریاضیدان‌ها را یک قدم به درک ترتیب مخفی «اتم‌های علم حساب» یعنی اعداد اول نزدیک کرد. اعداد اول، اعدادی که تنها بر خودشان و عدد یک بخش‌پذیر هستند، بنیادی‌ترین اجزای سازنده‌ی ریاضی به شمار می‌روند. این اعداد همچنین بسیار اسرارآمیز هستند. در نگاه اول به نظر می‌رسد به‌صورت تصادفی روی محور اعداد پراکنده‌ شده‌اند، اما درواقعیت تصادفی نیستند.

اعداد اول در واقع بسیار مشخص هستند و با نگاهی دقیق می‌توان الگوهای عجیبشان را آشکار کرد؛ الگوهایی که ریاضی‌دان‌ها قرن‌ها زمان صرف آشکارسازی‌شان کردند. رسیدن به درک بهتری از چگونگی توزیع اعداد اول می‌تواند راهگشای بسیاری از حوزه‌های وسیع علم ریاضیات باشد.

بااینکه ریاضیدان‌ها فرمول‌هایی برای ارائه‌ی درکی تقریبی از موقعیت اعداد اول دارند، نمی‌توانند به‌صورت دقیق آن را محاسبه کنند و درواقع بیشتر از روشی غیرمستقیم استفاده می‌کنند. اقلیدس در حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد، اثبات کرد که تعداد بی‌نهایت عدد اول وجود دارد. ریاضی‌دان‌ها از آن زمان طبق این قضیه پیش‌ رفتند و آن را برای اعداد اول بر اساس معیارهایی مشخص اثبات کردند. یک مثال ساده: آیا تعداد بی‌نهایت عدد اول وجود دارد که دربردارنده عدد ۷ نباشند؟

به‌مرورزمان ریاضی‌دان‌ها معیارهای یافتن اعداد اول را محدودتر کردند. آن‌ها نشان دادند تعداد زیادی از اعداد اول در چنین محدودیت‌های سخت‌گیرانه‌ای صدق می‌کنند و به‌این‌ترتیب نکات بیشتری را درباره‌ی موقعیت قرارگیری اعداد اول آموختند. بااین‌حال اثبات این نظریه‌ها بسیار دشوار است.

اکنون دو ریاضی‌دان به نام‌های بن گرین از دانشگاه آکسفورد و مهتاب ساونی از دانشگاه کلمبیا، چنین گزاره‌ای را برای نوع چالش‌برانگیز و مشخصی از عدد اول اثبات کردند. اثبات آن‌ها که در ماه اکتبر به صورت آنلاین منتشر شد، نه‌تنها درک ریاضی‌دان‌ها از اعداد اول را بهبود می‌دهد، بلکه از مجموعه ابزارهای متعلق به یک حوزه‌ی بسیار متفاوت ریاضیات استفاده می‌کند و نشان می‌دهد که این ابزارها بسیار قدرتمندتر از آن چیزی هستند که ریاضی‌دان‌ها تصور می‌کردند و می‌توان از آن‌ها در زمینه‌های دیگر هم استفاده کرد.

ریاضی‌دان‌ها قصد داشتند خانواده‌هایی از اعداد اول را مطالعه کنند که به‌اندازه‌ی کافی پیچیده و جذاب اما در عین حال به اندازه کافی ساده هستند که بتوان در آن‌ها پیشرفت کرد. برای مثال ممکن است ثابت کنند بی‌نهایت عدد اول با ۵۰۰ واحد فاصله وجود دارند یا می‌توان بی‌نهایت عدد اول را با جمع مجذور اعداد دیگر ساخت.

محدودیت جمع مجذور اعداد تا قرن‌ها چراغ پیشرفت ریاضی بود. بر اساس حدس پیر دو فرما در سال ۱۶۴۰، بی‌نهایت عدد اول وجود دارد که می‌توان با مربع دو عدد کامل و جمع آن‌ها با یکدیگر به آن‌ها رسید. برای مثال عدد اول ۱۳ را می‌توان به صورت 2^2 + 2^3 نوشت. لئونارد اویلر بعدها این فرضیه را اثبات کرد؛ اما مسئله را به این صورت تغییر داد که یکی از اعدادی که مربع می‌شود باید فرد یا مربع کامل باشد و این تغییر مسئله را دشوارتر کرد. گرین می‌گوید هرچقدر محدودیت‌های روی یک مجموعه را افزایش دهید، یافتن اعداد اول در آن دشوارتر می‌شود.

در سال ۲۰۱۸، فردلندر و هنریک ایوانیک ریاضی‌دانان دانشگاه راتگرز این پرسش را مطرح کردند. بی‌نهایت عدد اول به شکل p^2 + 4q^2 وجود داشته باشند که در آن p و q هر دو باید اول باشند. برای مثال: 41= 4*2^2 + 2^5

محدودیت فوق به نظر چالش‌برانگیز می‌رسد؛ اما اگر ریاضی‌دان‌ها بتوانند چنین مسئله‌ای را حل کنند در اجرای سطح جدیدی از کنترل روی اعداد اول موفق خواهند شد.

گرین یا ساونی هیچ‌کدام قبلا بازی شمارش اعداد اول را انجام نداده بودند؛ اما هر دو در بررسی الگوهای عجیب اعداد اول تجربه داشتند. این دو ریاضی‌دان در ماه ژوئیه در کنفرانسی در شهر ادینبورگ یکدیگر را ملاقات کردند و تصمیم به همکاری گرفتند. آن‌ها صرفا می‌بایست مسئله‌ی درستی را برای کار پیدا می‌کردند و بعد از بحث، برای حل حدس فردلندر و ایوانیک به توافق رسیدند.

گرین به مدت یک هفته ساونی را به آکسفورد دعوت کرد. آن‌ها می‌دانستند که ریاضی‌دان‌ها برای اثبات حدس‌های مشابه معمولا روی یک مجموعه‌ی مشخص از تکنیک‌های شمارش کار می‌کنند، اما از آنجا که اعداد اول در مسئله‌ی آن‌ها با محدودیت زیادی تعریف شده‌ بودند، گرین و ساونی نتوانستند راه‌حلی را برای به کار انداختن این جعبه‌ابزار سنتی بیابند.

در عوض گرین و ساونی امیدوار بودند بتوانند حدس را به شیوه‌ای غیر مستقیم‌تر با انجام نوعی حرکت شطرنج ریاضی حل کنند؛ اما در ابتدا باید ثابت می‌کردند که مجاز به انجام چنین حرکتی هستند. در نهایت این دو ریاضی‌دان به ارتباط شگفت‌انگیزی با حوزه‌ی دیگری از ریاضیات رسیدند.

گرین و ساونی نمی‌توانستند به طور مستقیم تعداد اعداد اول تولیدشده از مربع دو عدد اول و مجموع آن‌ها با یکدیگر را شمارش کنند؛ اما اگر کمی محدودیت خود را کاهش می‌دادند چطور؟ آن‌ها متوجه شدند که می‌توانند نسخه‌ی ضعیف‌تری از مسئله را اجرا کنند که در آن اعداد مجذور تقریبا اول بودند.

یافتن اعداد اول تقریبی آسان‌تر از اعداد اول است. فرض کنید بخواهید کل اعداد اول تقریبی بین یک و ۲۰۰ را بشمارید. در ابتدا مجموعه‌ای از کوچک‌ترین اعداد اول مثل ۲، ۳، ۵ و ۷ را درنظر بگیرید. سپس کل اعداد را که بر این اعداد اول بخش‌پذیر نیستند فهرست کنید. این اعداد، اعداد اول تقریبی نامیده می‌شوند. در این نمونه به ۵۰ عدد اول تقریبی می‌رسیم که ۴۶ عدد از آن‌ها واقعا اول هستند، در حالی که چهار عدد باقی‌مانده (۱۲۱، ۱۴۳، ۱۶۹ و ۱۸۷) اول نیستند. از آنجا که اعداد اول تقریبی توزیع تصادفی کمتری نسبت به اعداد اول دارند، کار با آن‌ها به شکل چشمگیری آسان‌تر است.

با این‌حال مسئله واضح نبود. آن‌ها باید مجموعه خاصی از توابع به نام جمع‌های نوع ۱ و نوع ۲ را برای هر نسخه از مسئله‌ی خود تحلیل می‌کردند و سپس نشان می‌دادند که این مجموع‌ها صرف‌نظر از نوع محدودیت به کار رفته هم‌ارز هستند. سپس در این صورت می‌دانستند که آیا می‌توانند اعداد اول تقریبی را بدون از دست دادن اطلاعات در اثبات خود قرار دهند یا خیر.

ریاضی‌دان‌ها خیلی زود به نتیجه رسیدند و توانستند با ابزاری هم‌ارزی جمع‌ها را نشان دهند. ابزار یادشده که هنجار گورز نامیده می‌شود چند دهه قبل توسط ریاضیدانی به نام تیموتی گورز برای اندازه‌گیری میزان تصادفی بودن یا ساختاریافته بودن یک تابع یا مجموعه‌ای از اعداد ابداع شد. در ظاهر به نظر می‌رسد، هنجار گورز به یک حوزه‌ی کاملا متفاوت از ریاضیات تعلق دارد.

با این‌حال گرین و ساونی با استفاده از نتیجه‌ای که در سال ۲۰۱۸ توسط ریاضی‌دان‌هایی به نام ترنس تائو و تامار زیگلر اثبات شد، روشی برای ایجاد ارتباط بین هنجارهای گورز و مجموع‌های نوع ۱ و ۲ پیدا کردند. آن‌ها به‌ویژه به هنجارهای گورز نیاز دارند تا نشان دهند دو مجموعه‌شان از اعداد اول، یعنی مجموعه‌ای که با اعداد اول تقریبی ساخته شده و مجموعه‌ای از اعداد اول واقعی به اندازه‌ی کافی به یکدیگر شبیه هستند.

مشخص شد ساونی از قبل روش این کار را می‌دانست. او در اوایل سال جاری برای حل یک مسئله‌ی غیرمرتبط، تکنیکی را برای مقایسه‌ی مجموعه‌ها با استفاده از هنجارهای گورز ابداع کرد. در کمال شگفتی، این تکنیک به خوبی نشان می‌داد که دو مجموعه دارای مجموع‌های یکسان نوع ۱ و ۲ هستند.

گرین و ساونی با توجه به داده‌های موجود حدس فریدلندر و ایوانیک را ثابت کردند: بی‌نهایت عدد اول وجود دارند که می‌توان به صورت  p^2 + 4q^2 نوشت. در نهایت، آن‌ها توانستند نتیجه را برای اثبات انواع خانواده‌های دیگر تعمیم دهند.

این پژوهش نشان می‌دهد که هنجار گورز می‌تواند به شکل ابزاری قدرتمند در یک قلمروی جدید عمل کند. ریاضی‌دان‌ها امیدوارند محدوده‌ی هنجار گورز را بیشتر گسترش دهند و از آن‌ برای حل مسئله‌های فراتر از شمارش اعداد اول در نظریه‌ اعداد استفاده کنند.