چگونه واقعیت ما می‌تواند مجموعی از تمام واقعیت‌های محتمل باشد؟

قدرتمند‌ترین فرمول در فیزیک با یک S باریک، نماد نوعی جمع موسوم به انتگرال شناخته می‌شود. سپس S دومی به میان می‌آید که نماینده‌ی کمیتی به نام حرکت است. این S دوقلو ماهیت معادله‌ای را تشکیل می‌دهند که مؤثرترین پیشگوی آینده است.

فرمول پیشگویی یادشده با عنوان «انتگرال مسیر فاینمن» شناخته می‌شود. به عقیده‌ی فیزیک‌دان‌ها این معادله به شکلی دقیق رفتار تمام سیستم‌های کوانتومی از الکترون و پرتوهای نور تا سیاه‌چاله‌ها را توصیف می‌کند. به نوشته‌ی مجله‌ی کوانتا، انتگرال مسیر تاکنون به موفقیت‌های زیادی رسیده است تا جایی که بسیاری از فیزیک‌دان‌ها آن را پنجره‌ای مستقیم به قلب واقعیت می‌دانند. به گفته‌ی رینات لول، فیزیکدان نظری دانشگاه رادبود هلند، واقعیت با انتگرال مسیر تعریف می‌شود.

اما بااینکه معادله‌ی یادشده صفحات هزاران کتاب فیزیکی را به خود آراسته است، بیشتر دیدگاهی فلسفی به شمار می‌رود تا دستورالعملی دقیق. این معادله نشان می‌دهد واقعیت ما نوعی ادغام و مجموعه‌ای از کل واقعیت‌های قابل فرض است؛ اما نمی‌گوید که دانشمندان دقیقا چگونه باید عملیات جمع را انجام دهند؛ به همین دلیل فیزیک‌دان‌ها ده‌ها سال از زمان خود را صرف توسعه‌ی مجموعه‌ای از طرح‌های تخمینی برای توسعه و محاسبه‌ی انتگرال سیستم‌های مختلف کوانتومی کردند.

این تخمین‌ها عملکرد خوبی داشتند به‌طوری‌که فیزیکدان‌های شجاعی مثل لول حالا به دنبال انتگرال مسیر نهایی هستند: انتگرالی که ترکیبی از تمام شکل‌های متحمل فضا و زمان باشد و جهانی مانند جهان ما را تولید کند؛ اما برای اثبات این فرضیه که واقعیت مجموعه‌ای از کل واقعیت‌های محتمل است، دانشمندان درباره‌ی احتمال‌هایی که باید وارد جمع شوند، سردرگم هستند.

مکانیک کوانتوم در سال ۱۹۲۶ راه خود را آغاز کرد؛ در این زمان اروین شرودینگر معادله‌ای را برای توصیف حالت‌های موج‌مانند ذرات از لحظه‌ای به لحظه‌ای دیگر ابداع کرد. ده سال بعد، پل دیراک چشم‌اندازی متفاوت از دنیای کوانتوم را ارائه داد. نظریه‌ی او مبتنی بر این مفهوم بود که اشیاء، مسیر «حداقل حرکت» را برای رسیدن از نقطه‌ی A به B انتخاب می‌کنند. چنین مسیری به حداقل زمان و انرژی نیاز دارد. بعدها ریچارد فاینمن به نتیجه‌ی غیرمنتظره‌ای در رابطه با پروژه‌ی دیراک رسید و انتگرال مسیر را در سال ۱۹۴۸ رونمایی کرد. نکته‌ی اساسی این مسئله در آزمایش اصلی مکانیک کوانتوم موسوم به «آزمایش دو شکاف» دیده می‌شود.

فیزیک‌دان‌ها ذرات را به سمت مانعی با دو شیار داخل آن پرتاب کردند و سپس محل فرود ذرات در پشت مانع را بررسی کردند. اگر ذرات به شکل گلوله بودند، معمولا یک دسته را پشت شیار تشکیل می‌دادند. ذرات در راستای دیوار پشتی به شکل نوارهایی تکرارشونده فرود می‌آمدند. این آزمایش نشان می‌دهد آنچه در میان شیار حرکت می‌کند درواقع موجی است که موقعیت‌های احتمالی ذره را نشان می‌دهد. دو جبهه‌ی موج با یکدیگر تداخل پیدا می‌کنند و مجموعه‌ای از قله‌ها را تشکیل می‌دهند که ذره در آن‌ها کشف می‌شود.

در انیمیشن زیر، مشاهده می‌کنید که در آزمایش دو شکاف، یک موج به صورت یکجا از دو شیار عبور می‌کنند و در سمت دیگر با خود تداخل پیدا می‌کنند. موج، نماینده‌ی موقعیت‌های احتمالی ذره است؛ رنگ سفید نشان می‌دهد در کدام نقطه احتمال کشف آن وجود دارد.

الگوی تداخلی نتیجه‌ای بسیار عجیب است، زیرا نشان می‌دهد هر دو مسیر احتمالی ذره در مانع، دارای یک واقعیت فیزیکی هستند. بر اساس انتگرال مسیر، ذره‌ها حتی در صورت نبود مانع یا شیار، چنین رفتاری دارند. در درجه‌ی اول قرار دادن یک شیار سوم در مانع را در نظر بگیرید. الگوی تداخلی روی دیوار، مسیری جدید را نشان می‌دهد. حالا به بریدن شیارها ادامه می‌دهیم تا جایی که مانعی به‌جز شیارها وجود نداشته باشد. ذره‌ای که به سمت این فضا شلیک می‌شود، تمام مسیر‌های داخل شیارها (حتی مسیرهای عجیب با انحراف‌های حلقه‌ای) را طی می‌کند تا به دیوار برسد. وقتی تمام گزینه‌ها به‌درستی جمع شوند می‌توان به این نتیجه رسید که اگر مانعی وجود نداشته باشد چه انتظاری باید داشت: یک نقطه‌ی درخشان واحد روی دیوار دیده می‌شود.

به‌این‌ترتیب چشم‌اندازی بنیادی از رفتار کوانتومی به دست می‌آید که بسیاری از فیزیک‌دان‌ها آن را جدی می‌گیرند. اما چگونه تعداد بی‌نهایتی از مسیرهای منحنی به یک خط مستقیم واحد ختم می‌شوند؟ طرح فاینمن شامل در نظر گرفتن هر مسیر، محاسبه‌ی حرکت آن (زمان و انرژی لازم برای پیمایش مسیر) و سپس رسیدن به عددی به نام دامنه است که احتمال پیمایش مسیر توسط ذره را نشان می‌دهد. سپس می‌توان تمام دامنه‌ها را با یکدیگر جمع کرد تا به دامنه‌ی کلی ذره‌ای که از یک نقطه به نقطه‌ی دیگر می‌رود یا همان «انتگرال مسیر» رسید.

به زبان ساده‌تر، مسیرهای انحرافی و کج مانند مسیرهای مستقیم به نظر می‌رسند زیرا دامنه‌ی هر مسیر واحد اندازه‌ی یکسانی دارد. گرچه دامنه‌ها اعدادی پیچیده هستند. در حالی که اعداد حقیقی نقاط روی یک خط را می‌سازند، اعداد مختلط مانند پیکان رفتار می‌کنند. پیکان‌ها برای مسیر‌های مختلف، در جهت‌های متفاوتی قرار می‌گیرند و مجموع دو پیکان که در جهت مخالف یکدیگر قرار می‌گیرند، صفر است.

بنابراین برای ذره‌ای که در فضا حرکت می‌کند، دامنه‌ی مسیرهای نسبتا مستقیم در یک جهت قرار می‌گیرند و به این ترتیب یکدیگر را تقویت می‌کنند؛ اما دامنه‌های مسیرهای پرپیچ‌وخم هر کدام به سمتی حرکت می‌کنند بنابراین این مسیرها در خلاف جهت یکدیگر حرکت می‌کنند. تنها مسیر خط مستقیم باقی می‌ماند و نشان می‌دهد چگونه یک مسیر کلاسیک واحد که از حداقل حرکت‌ها تشکیل شده است، از بی‌نهایت گزینه‌ی کوانتومی به دست می‌آید.

فاینمن نشان می‌دهد که انتگرال مسیر او هم‌ارز با معادله‌ی شرودینگر است. مزیت روش فاینمن این است که نسخه‌ی شهودی‌تری برای کار با دنیای کوانتوم است زیرا مجموعه‌ی تمام احتمال‌ها را در نظر می‌گیرد.

فیزیک‌دان‌ها خیلی زود به این درک رسیدند که ذرات برانگیختگی‌هایی در میدان‌های کوانتومی هستند؛ یا موجودیت‌هایی که فضا را با مقادیری در هر نقطه پر می‌کنند. وقتی ذره‌ای در راستای مسیرهای مختلف جابه‌جا شود، میدان هم به شیوه‌های مختلف نوسان می‌کند.

خوشبختانه انتگرال مسیر برای میدان‌های کوانتومی هم کار می‌کند. جرالد دان، فیزیک‌دان ذرات در دانشگاه کانکتیکات می‌گوید، به جای جمع تمام مسیرها می‌توان تمام ترتیب‌های قرارگیری میدان‌ها را جمع بست. سپس با شناسایی آرایش‌های اولیه و نهایی یک میدان می‌توان تاریخچه‌های محتملی را که آن‌ها را به یکدیگر وصل می‌کنند در نظر گرفت.

فاینمن خود برای توسعه‌ی نظریه‌ی کوانتومی میدان الکترومغناطیسی در سال ۱۹۴۹ به انتگرال مسیر وابسته بود. بقیه‌ی پژوهشگرها هم حرکت‌ها و دامنه‌های میدان‌هایی را محاسبه می‌کنند که نماینده‌ی نیروها و ذرات دیگر هستند. زمانی که فیزیک‌دان‌های مدرن خروجی یک برخورد در برخورد‌دهنده‌ی هادرونی بزرگ را پیش‌بینی کردند، انتگرال مسیر بنیان بسیاری از محاسبات بود. حتی فروشگاه هدیه‌ی واقع در CERN، ماگی را می‌فروشد که روی آن معادله‌ای برای محاسبه‌ی حرکت میدان‌های کوانتومی معلوم یا به بیان دیگر، ماده‌ی کلیدی انتگرال مسیر نقش بسته است. به گفته‌ی دان انتگرال مسیر در واقع پایه‌ی بنیادی فیزیک کوانتوم است.

انتگرال مسیر با وجود پیروزی در فیزیک، ریاضیات آزاردهنده‌ا‌ی دارد. حتی یک ذره‌ی ساده که در فضا حرکت می‌کند دارای تعداد زیادی مسیر احتمالی است. وضع برای میدان‌ها بدتر است زیرا مقادیری دارند که می‌توانند به بی‌نهایت روش مختلف در بی‌نهایت موقعیت مختلف جابه‌جا شوند. فیزیک‌دان‌ها تکنیک‌های هوشمندانه‌ای برای کار با برج نامتعادلی از بی‌نهایت‌ها دارند اما ریاضی‌دان‌ها معتقدند انتگرال هرگز برای کار در چنین محیط بی‌نهایتی طراحی نشده است.

ین چین انگ، فیزیک‌دان نظری دانشگاه یانگژوی چین که دارای سابقه‌ای در زمینه‌ی ریاضیات است، انتگرال را به جادو تشبیه می‌کند. ریاضیات برای کار با چیزهای مبهم آسان نیست. فیزیک‌دان‌ها حتی برای تخمین انتگرال مسیر برای نیروی قوی تلاش کردند. نیروی قوی، برهم‌کنش بسیار پیچیده‌ای است که ذرات موجود در هسته‌ی اتم را کنار یکدیگر نگه‌ می‌دارد. آن‌ها از دو ترفند برای این کار استفاده کردند. در درجه‌ی اول زمان را عددی فرضی درنظر گرفتند با این ترفند عجیب، دامنه‌ها به اعداد حقیقی تبدیل شدند. سپس پیوستار فضازمانی نامتناهی را به‌عنوان شبکه‌ای متناهی در نظر گرفتند. کاربران نظریه‌ی میدان کوانتومی شبکه‌ای می‌توانند از انتگرال مسیر برای محاسبه‌ی ویژگی‌های پروتون‌ها و دیگر ذراتی که نیروی قوی بر آن‌ها تأثیر دارد، استفاده کنند و به‌این‌ترتیب به جواب‌های یکپارچه‌ای منطبق با تجربیات برسند.

هنوز پیدا کردن راه‌حل بزرگ‌ترین راز فیزیک بنیادی از طریق آزمایش ممکن نیست. فیزیک‌دان‌ها به دنبال درک منشأ کوانتومی نیروی گرانش هستند. آلبرت اینشتین در سال ۱۹۱۵ گرانش را به‌عنوان حاصل منحنی‌هایی در بافت فضا و زمان در نظر گرفت. نظریه‌ی او نشان می‌دهد مدت اندازه‌گیری تیک و تاک ساعت از نقطه‌ای به نقطه‌ی دیگر متفاوت است یا به بیانی دیگر فضا زمان، حوزه‌ای انعطاف‌پذیر است. میدان‌های دیگر ماهیتی کوانتومی دارند بنابراین فیزیک‌دان‌ها انتظار دارند فضا زمان هم این‌چنین باشد و انتگرال مسیر چنین رفتاری را ثبت کند.

فلسفه‌ی فاینمن شفاف است: فیزیک‌دان‌ها باید تمام شکل‌های احتمالی فضازمان را محاسبه کنند؛ اما درصورتی‌که شکل فضا و زمان را درنظر بگیریم دقیقا چه چیز امکان‌پذیر خواهد شد؟ برای مثال فضا زمان می‌تواند یک موقعیت مکانی را از دیگری جدا کند. یا می‌تواند با لوله‌هایی موسوم به کرمچاله سوراخ شود که دو موقعیت مکانی را به یکدیگر وصل می‌کنند. با معادله‌های اینشتین می‌توان به چنین شکل‌های عجیبی رسید اما تغییراتی که به این شکل‌ها می‌انجامند، غیرممکن می‌شوند زیرا فرآیندهای شکافتن یا ادغام، رابطه‌ی علت و معلولی را نقض می‌کنند و باعث ایجاد تناقض‌های فضازمانی می‌شوند. هیچ‌کس نمی‌داند فضازمان و گرانش هم می‌توانند در فعالیتی جسورانه در سطح کوانتومی دخیل باشند.

برای مثال استیون هاوکینگ، شکلی از انتگرال مسیر را پیشنهاد داد که شکاف‌ها، کرم‌چاله‌ها، دونات‌ها و دیگر تغییرات توپولوژیک شدید را بین شکل‌های مختلف فضا تطبیق می‌دهد. او بر ترفند عدد فرضی برای زمان تکیه کرد تا به‌این‌ترتیب به ریاضیات ساده‌تری برسد. تفسیر فرضی از زمان می‌تواند آن را به بعد دیگری از فضا تبدیل کند. در چنین عرصه‌ی بی‌زمانی، مفهومی برای علت و معلولی کرم‌چاله‌ها و جهان‌های شکافته و ادغام شده وجود ندارد. هاوکینگ از این انتگرال مسیر بی‌زمان و اقلیدسی استفاده کرد تا بگوید زمان از بیگ‌بنگ شروع شد و سپس از آن برای محاسبه‌ی عناصر سازنده‌ی فضازمان داخل سیاه‌چاله استفاده کرد. به‌تازگی پژوهشگرها از روش اقلیدسی برای فرضیه‌ی نشت اطلاعات از سیاه‌چاله‌ی درحال مرگ استفاده کردند.

به عقیده‌ی سیمون راس، نظریه‌پرداز گرانش کوانتومی در دانشگاه دورهام انتگرال مسیر گرانشی، برای دربرگرفتن تمام توپولوژی‌ها تعریف می‌شود و دارای ویژگی‌های جذابی است که هنوز کاملا آن را درک نکرده‌ایم.

اما دیدگاه فوق با هزینه همراه است. برخی فیزیک‌دان‌ها مخالف حذف عنصر مهمی مثل زمان هستند. به گفته‌ی لول، انتگرال مسیر اقلیدسی کاملا غیرفیزیکی است. گروه او تلاش می‌کنند زمان را در انتگرال مسیر حفظ کنند و آن را در فضازمان شناخته‌شده قرار دهند؛ جایی که علت‌ها از معلول‌ها پیشی می‌گیرند. لول پس از صرف سال‌ها وقت برای توسعه‌ی روش‌هایی برای تخمین انتگرال مسیر دشوارتر به نشانه‌هایی برای اثربخش بودن این روش رسید. برای مثال او و همکارانش در مقاله‌ای مجموعه‌ای از شکل‌های استاندارد فضازمانی (هر کدام به شکل لایه‌ای از شکل‌های فضازمانی) را اضافه کردند و به چیزی شبیه جهان ما رسیدند که در آن ذرات در مسیرهای مستقیم حرکت می‌کنند.

دیگران نیز انتگرال مسیر بی‌زمان را با در نظر گرفتن تمام تغییرات توپولوژیک، برای فضازمان و گرانش پیش بردند. پژوهشگرها در سال ۲۰۱۹ انتگرال کامل را نه صرفا به‌عنوان تخمینی برای جهان‌های دوبعدی تعریف کردند بلکه از ابزارهای ریاضی استفاده کردند که بعدها مفهوم فیزیکی آن را آلوده کردند. چنین پژوهش‌هایی برای فیزیک‌دان‌ها تأثیرگذار بودند به‌طوری‌که انتگرال مسیر را روشی قدرتمند در نظر گرفتند. به گفته‌ی اونگ، باید انتگرال‌های مسیر واضحی را بسازیم اما این کار به زمان بستگی دارد.