ریاضیات زیبایی که مانع از تبدیل‌شدن پیامک‌های شما به متون نامفهوم می‌شود

یک شیشه سکه را روی میز خالی کنید و سعی کنید تا جایی که می‌توانید سکه‌ها را کنار هم بچینید. سکه‌ها باید کاملاً روی سطح مسطح قرار بگیرند؛ لبه‌های آن‌ها می‌تواند با هم مماس باشد به شرطی که روی یکدیگر نیفتند. کارآمدترین راه برای جادادن حداکثر تعداد سکه در این فضا چیست؟ اگر سطح میز تا بی‌نهایت در همه جهات امتداد داشت، چند درصدش را می‌توانستید با سکه‌ها بپوشانید؟

این معما را به‌عنوان نقطه شروع حوزه‌ای از ریاضیات به نام چیدمان یا بسته‌بندی کُره‌ها می‌شناسند. پس از تأمل درباره حالت دوبعدی روی میز، می‌توانیم سراغ سه بعد برویم، چیزی شبیه چیدن پرتقال‌ها روی‌هم در میوه‌فروشی و بعد به فضاهایی با ابعاد بسیار بالاتر برسیم.

چیدمان کارآمد کره‌های چندبعدی در فضاهای انتزاعی‌شان، کاربردهای عملی شگفت‌انگیزی در فناوری ارتباطات دیجیتال دارد. البته حوزه تحقیقاتی بسیار محبوبی هم هست و برخی از مشهورترین مسائل حل‌نشده و دشوار ریاضیات را هم در خود جای می‌دهد.

به همین دلیل اول آگوست، وقتی شرکت OpenAI اعلام کرد مدل منتشرنشده‌اش (در آن زمان) به نام Astra در کنار ۹ مسئله دیگر ریاضیات و علوم کامپیوتر نظری، پیشرفت قابل‌توجهی در چیدمان کره‌ها داشته، هیاهوی زیادی به پا کرد.

برای حل معمای ابتدایی ما درباره‌ی چیدن دایره‌ها در فضای دوبعدی، عموم مردم وسوسه می‌شوند سکه‌ها (یا دیسک‌ها) را به‌صورت منظم و ردیفی کنار یکدیگر قرار دهند.

با استفاده از فرمول‌های ساده‌ی هندسه می‌توانید محاسبه کنید که دایره‌هایی که به این شکل چیده می‌شوند، حدود ۷۸٫۵ درصد سطح را می‌پوشانند؛ یا به‌طور دقیق π⁄4 فضای موجود. اما برای جادادن تعداد بیشتری دیسک، باید به این نکته توجه کنیم که هر دایره می‌تواند حداکثر با شش دایره هم‌اندازه دیگر که هم‌زمان با آن مماس‌اند احاطه شود.

پس شما می‌توانید با همین اصل دیسک‌ها را فشرده‌تر و با کارایی بیشتری روی میز بچینید و به الگویی تکرارشونده شبیه به لانه زنبور برسید.

الگوی بالا حدود ۹۰٫۷ درصد از فضا را می‌پوشاند و به‌عنوان چیدمان بهینه‌ی دوبعدی شناخته می‌شود. در فضای سه‌بعدی، همان روش آشنای چیدن پرتقال‌ها در فروشگاه، متراکم‌ترین چینش ممکن محسوب می‌شود. شما ابتدا لایه‌ی صافی از کره‌ها را روی سطح می‌چینید و کره‌های لایه‌های بعدی را داخل فرورفتگی‌های ایجادشده میان کره‌های لایه‌ی زیرین قرار می‌دهید.

یوهانس کپلر، دانشمند آلمانی که بیشتر به‌خاطر قوانین حرکت سیاراتش شهرت دارد، در سال ۱۶۱۱ حدس زد که این چیدمان، بهینه‌ترین حالت ممکن را به شما می‌دهد. صدها سال طول کشید تا حدس کپلر سرانجام تأیید شود. سال ۱۹۹۸، ریاضی‌دان آمریکایی، توماس کالیستر هیلز، به کمک کامپیوتر اثبات عظیمی برای این مسئله ارائه کرد.

وقتی وارد ابعاد بالاتر می‌شویم، ریاضی‌دانان تصاویر را کنار می‌گذارند و به معادلات تکیه می‌کنند. همان‌طور که یک نقطه در صفحه‌ی دوبعدی x-y با دو مختصات (x, y) نمایش داده می‌شود، یک نقطه در فضای سه‌بعدی سه مختصات (x, y, z) و یک نقطه در فضای چهاربعدی چهار مختصات (x, y, z, w) دارد.

اگرچه جبر به‌راحتی به ابعاد بالاتر تعمیم پیدا می‌کند، ولی یافتن بهترین چیدمان کره‌ها در فضاهای چندبعدی بسیار دشوار می‌شود. پس از بُعد سوم، پژوهشگران تنها در ابعاد ۸ و ۲۴ توانسته‌اند بهترین چیدمان ممکن را پیدا کنند.

ریاضی‌دان اوکراینی مارینا ویازوفسکا در سال ۲۰۱۶ مسئله‌ی چیدمان کره‌ها در بُعد هشتم را حل کرد؛ دستاوردی که در سال ۲۰۲۲ مدال فیلدز را برایش به ارمغان آورد. تنها یک هفته پس از کشف سال ۲۰۱۶، ویاژوفسکا به همراه چهار همکار دیگر مسئله‌ی بُعد ۲۴ را نیز حل کرد.

ابعاد ۸ و ۲۴ دارای تقارن‌های خاصی هستند و پژوهشگران از همین ویژگی برای جای‌دادن کره‌ها با بیشترین تراکم استفاده کردند. درباره‌ی سایر فضاهای با ابعاد بالاتر، اطلاعات بسیار کمتری داریم. حتی ممکن است بهترین چیدمان در بعضی ابعاد کاملاً نامنظم باشد و برخلاف موارد حل‌شده، از هیچ الگوی تکرارشونده‌ای پیروی نکند.

کره‌های چندبعدی مدل‌های بسیار خوبی برای توصیف بعضی پدیده‌هایی هستند که هر روز با آن‌ها سروکار داریم، مثلاً ارتباطات دیجیتال را در نظر بگیرید؛ فرایندی آشفته و مستعد خطا.

وقتی پیامکی ارسال می‌کنید، تلفن شما کلماتتان را به بیت‌ها، دنباله‌ای از صفرها و یک‌ها، تبدیل می‌کند که سپس به یک سیگنال الکترومغناطیسی ترجمه می‌شوند. این سیگنال در هوا به نزدیک‌ترین دکل مخابراتی می‌رسد و از آنجا وارد شبکه‌ای پیچیده از کابل‌ها می‌شود.

پس چرا پیامک‌ها تقریباً همیشه دست‌نخورده به مقصد می‌رسند؟ یا سؤالی جالب‌تر، چرا می‌توانید فیلم کاملی را از سروری در کشوری دیگر بدون جابه‌جاشدن حتی یک پیکسل تماشا کنید؟

پاسخ در ساختارهایی از علوم کامپیوتر نظری به نام کدهای تصحیح خطا (error-correcting codes) نهفته است که ارتباطی تنگاتنگ با بسته‌بندی کره‌ها در ابعاد بالا دارند. به دلیل احتمال بالای خراب‌شدن داده‌ها، دستگاه‌های ما پیام‌ها را با مقداری افزونگی رمزگذاری می‌کنند تا دستگاه گیرنده بتواند حتی باوجود خطاهای ایجادشده در مسیر، پیام اصلی را بازسازی کند.

فرض کنید من کلمه CODE را برای شما پیامک می‌کنم، اما در جایی از این مسیر، برخی بیت‌ها تغییر می‌کنند و شما در عوض COBE را دریافت می‌کنید. در این صورت نمی‌دانید منظور من CODE بوده یا CUBE یا LOBE یا چیز دیگری.

اما اگر پیام را به‌صورت یک افزونگی ارسال کنم، مثلا CODE CODE CODE، چنانچه همان مقدار تخریب رخ دهد و شما CODE COBE CODE را دریافت کنید، به‌احتمال بسیار زیاد مطمئن خواهید بود که کلمه‌ی موردنظر من CODE بوده، حتی اگر یکی از حروف تغییر کرده باشد.

وقتی مسئله طراحی کدهای تصحیح خطا را به زبان ریاضی بیان کنیم، به همان مسئله‌ی چیدمان کره‌ها با ظاهری متفاوت تبدیل می‌شود.

برای ملموس‌ترشدن موضوع، فرض کنید می‌خواهیم روشی بسازیم که تمام پیام‌های ۱۲ بیتی ممکن را به رشته‌های یکتای ۲۳ بیتی تبدیل کند؛ رشته‌هایی که کلمه‌ی کد یا Code Word نامیده می‌شوند. هدف این است که اگر هر سه بیت از رشته‌ی ۲۳ بیتی خراب شوند، همچنان بتوانیم تشخیص دهیم کدام کلمه‌ی کد ارسال شده و از روی آن، پیام ۱۲ بیتی اصلی را شناسایی کنیم.

همین‌جا برای اینکه ابهامات را برطرف کنیم، باید بگوییم که هیچ‌یک از رشته‌های ۲۳ بیتی نمی‌توانند بیش از حد شبیه به دیگری باشند. زیرا اگر دو کلمه کد بیش از حد به هم شبیه باشند، پس از خراب‌شدن برخی بیت‌ها، ممکن است گیرنده آن را به کلمه اشتباهی گرد کند. اما این مسئله دقیقاً چه ارتباطی با چیدمان کره‌ها دارد؟

• یک رشته‌ی ۲۳ بیتی را می‌توان به‌صورت یک نقطه در فضای ۲۳ بعدی در نظر گرفت. هر مجموعه ۲۳تایی از اعداد را می‌توان از نظر هندسی به همین شکل نمایش داد.
• تعداد بیت‌هایی که باید تغییر دهید تا یک نقطه در آن فضا به نقطه دیگری تبدیل شود، معادل فاصله بین آن نقاط است.
• هر نقطه‌ای که در شعاع ۳ واحدیِ یک کلمه کد مشخص قرار داشته باشد، توسط گیرنده به آن کلمه کد گرد می‌شود. بنابراین می‌توان کره‌ای با شعاع ۳ پیرامون هر کلمه‌ی کد در نظر گرفت. در نظریه‌ی کدگذاری، چنین ناحیه‌ای را «کره‌ی همینگ» می‌نامند. هر کره‌ی همینگ، کلمه‌ی کد را در مرکز و تمام رشته‌هایی را در بر می‌گیرد که با تغییر حداکثر سه بیت به آن می‌رسند.
• برای جلوگیری از ابهام، هیچ رشته‌ای نباید هم‌زمان داخل کره‌ی متعلق به دو کلمه‌ی کد متفاوت قرار بگیرد. در غیر این صورت، گیرنده هنگام دریافت آن رشته نمی‌داند باید آن را به کدام کلمه‌ی کد گرد کند. از دید هندسی یعنی کره‌ها نباید روی یکدیگر بیفتند.
• هرچه کلمات کد بیشتری داشته باشیم، پیام‌های بیشتری می‌توانیم ارسال کنیم؛ پس در اصل ما خواهان چیدمانی متراکم از کره‌هایی با شعاع ۳ در فضای ۲۳ بعدی هستیم.

پارامترهای مشخصی که اینجا توضیح دادیم، شباهت زیادی به یکی از کدهای واقعی دارند که ناسا در کاوشگرهای وویجر برای ارسال تصاویر به زمین استفاده کرد. ریاضی‌دانان انواع مختلفی از کدهای تصحیح خطای هوشمندانه را طراحی کرده‌اند که همه‌ی آن‌ها نیز لزوماً بر پایه‌ی چیدمان کره‌ها ساخته نشده‌اند و برای کاربردهای مختلف به کار می‌روند.

وقتی اطلاعاتی را از طریق اینترنت، داده‌های تلفن همراه یا GPS ارسال یا دریافت می‌کنید، از این کدها بهره می‌برید. شاید کره‌های چندبعدی در جهان فیزیکی وجود نداشته باشند، اما بخش زیادی از زندگی دیجیتال ما به لطف آن‌ها روان‌تر کار می‌کند.

هرچه تعداد ابعاد را افزایش می‌دهیم، بهترین چیدمان‌های ممکن نیز با سرعت زیادی کم‌چگال‌تر می‌شوند. ما هنوز سرعت دقیق این کاهش تراکم را نمی‌دانیم و این مسئله به‌عنوان یکی از سؤال‌های حل‌نشده‌ی حوزه‌ی بسته‌بندی کره‌ها شناخته می‌شود.

مدل Astra شرکت OpenAI ثابت کرد که با بالارفتن ابعاد، تراکم کره‌ها سریع‌تر از آنچه پیش‌تر ثابت شده بود کاهش پیدا می‌کند. اثبات آسترا نخستین پیشرفت اساسی این مسئله طی ۴۸ سال اخیر محسوب می‌شود. آسترا در همان اثبات محدودیت‌های یکی از قدرتمندترین ابزارهای این حوزه را هم که با نام روش کوهن-الکیس شناخته می‌شود، نشان داد.

گاهی پیشرفت به این شکل اتفاق می‌افتد که سقف شناخته‌شده را پایین‌تر می‌آورند یا کف شناخته‌شده را بالاتر می‌برند، با این امید که روزی این دو مقدار به یکدیگر برسند. روش کوهن-الکیس دقیقاً در همین مرحله به کار می‌آید.

سال ۲۰۰۳، هنری کوهن از مؤسسه فناوری ماساچوست (MIT) و نوام الکیس از دانشگاه هاروارد چارچوب مهمی برای یافتن کران‌های بالای چگالی چیدمان کره‌ها منتشر کردند. دستورالعمل آن‌ها تقریباً مکانیکی به نظر می‌رسد، باید یک تابع ریاضی پیدا کنید، تابع را وارد روش آن‌ها کنید تا یک کران بالا به دست آید.

البته کیفیت کران کاملا به تابعی بستگی دارد که انتخاب می‌کنید. کوهن و الکیس چک‌لیست کوتاهی از ویژگی‌های ریاضی ارائه کردند که یک تابع باید داشته باشد تا واجد شرایط استفاده در روش آن‌ها باشد. پیداکردن توابعی که تمام معیارها را داشته باشند سخت نیست، اما بیشتر آن‌ها کران‌های بالای بزرگ و بی‌فایده‌ای تولید می‌کنند.

کار وقتی سخت می‌شود که توابع مشخصی طراحی کنید که کران بالا را تا جای ممکن به چگالی واقعی نزدیک کنند. به‌عبارت‌دیگر، کوهن و الکیس یک ماشین در اختیار ریاضی‌دانان گذاشتند: ورودی مناسب را پیدا کنید، آن را از این ماشین عبور دهید و پردازش کنید و شاید پیشرفتی مهم در مسئله‌ی چیدمان کره‌ها حاصل شود.

ویازوفسکا تراکم بهینه برای بسته‌بندی کره‌ها در هشت بعد را با همین روش ثابت کرد. او میان شاخه‌های مختلف ریاضیات ارتباطات جدیدی پیدا کرد و با استفاده از آن‌ها تابعی ایده‌آل ساخت؛ تابعی که وقتی وارد ماشین کوهن-الکیس شد، کران بالایی تولید کرد که دقیقاً با کران پایین شناخته‌شده برای چیدمان کره‌های هشت‌بعدی مطابقت داشت.

هنگامی که یک کران بالا برای یک متغیر با کران پایین برای همان متغیر برابر می‌شود، دیگر شکی در مورد مقدار واقعی متغیر باقی نمی‌ماند. به همین دلیل روش کوهن-الکیس ابزار قدرتمندی برای پیشبرد مسئله‌ی چیدمان کره‌ها محسوب می‌شود.

مدل Astra که پشت این پیشرفت اخیر قرار دارد، محدودیت‌های این ابزار را نشان داد. آسترا در بخشی از اثبات خود، آستانه‌ای را محاسبه کرد که مشخص می‌کند بهترین نتیجه‌ای که اصولاً می‌توان با روش کوهن-الکیس به دست آورد، کجاست.

برای ابعادِ به‌اندازه کافی بزرگ مهم نیست که چقدر بادقت تابع را مهندسی کنید و آن را به روش کوهن-الکیس ببرید؛ کرانِ به‌دست‌آمده نمی‌تواند بهتر از آستانه‌ی خاصی باشد.

زمانی که کوهن و الکیس روش خود را در سال ۲۰۰۳ معرفی کردند، هیچ‌کس قدرت واقعی رویکردشان را درک نمی‌کرد. این چارچوب در بعضی ابعاد کوچک به پیشرفت‌های بزرگی منجر شد، اما معلوم نبود آیا می‌تواند رکورد ۴۸ساله‌ی سرعت کاهش تراکم با افزایش ابعاد را نیز بهبود دهد یا خیر.

آستانه‌ی آسترا به این سؤال پاسخ می‌دهد؛ بله، چارچوب کوهن-الکیس می‌تواند رکورد را بهبود ببخشد، ولی تا یک حد مشخص و اکنون آن حد به‌طور دقیق شناخته شده است.

البته یک اثبات ادعاشده معمولاً زمانی به نتیجه‌ای پذیرفته‌شده در ریاضیات تبدیل می‌شود که ریاضی‌دانان دیگر آن را بررسی و تأیید کنند. پیشرفت‌های OpenAI از این نظر مزیت اولیه‌ای دارند، زیرا همانند بسیاری از پیشرفت‌های اخیر هوش مصنوعی در ریاضیات، اثبات‌ها همراه با نسخه‌ای رسمی در زبان دستیار اثبات Lean ارائه شده‌اند.

اثبات‌هایی که در Lean نوشته می‌شوند شبیه کد رایانه‌ای به نظر می‌رسند، با این تفاوت که محتوای ریاضی بسیار بیشتری دارند. درواقع خود سیستم Lean می‌تواند صحت ساختار منطقی اثبات را بررسی کند. شما گزاره‌ی یک قضیه را در زبان Lean می‌نویسید و سپس اثبات را ارائه می‌کنید. اگر اثبات واقعاً قضیه را تأیید کند، Lean هم به آن مهر تأیید می‌زند.

کارشناسان برای تشخیص صحت زنجیره‌ی منطقی اثبات مجبور نیستند تمام جزئیات را دستی بررسی کنند، اما باید مطمئن شوند قضیه‌ای که در Lean نوشته شده، واقعاً همان ادعای ریاضی موردنظر پژوهشگران را منعکس می‌کند. تا زمان انتشار این مقاله، متخصصان این حوزه تنها بخشی از فایل‌های Lean را بررسی کرده‌اند.

اعلام نتایج OpenAI همچنین با انتقاد بعضی پژوهشگران روبه‌رو شد؛ به‌ویژه استیون میلر، ریاضی‌دان دانشگاه یشیوا. میلر ادعا می‌کند اثبات جدید تا حد زیادی بر پژوهش‌های قبلی او تکیه دارد و آسترا اعتبار کافی به تحقیقاتش نمی‌دهد.

یکی از سخنگویان OpenAI به جوزف هاولت، گزارشگر ارشد ساینتیفیک امریکن گفت: «ما مسئولیت صحت این نتایج را برعهده می‌گیریم و همان استانداردهایی را رعایت می‌کنیم که معمولاً از ریاضی‌دانان انسانی انتظار می‌رود.»

شرکت OpenAI هزینه‌ی یافتن این ۱۰ اثبات را از منظر استفاده از هوش مصنوعی معادل ۲۰۰۰ دلار اعلام می‌کند؛ هرچند که این عدد هزینه‌ی تلاش‌های ناموفق را در نظر نمی‌گیرد. مدل آسترا به‌خاطر اثباتش برنده مدال فیلدز نخواهد شد، اما اگر نتایج پس از بررسی انسانی تأیید شوند، مرزهای چیدمان کره‌ها را به جلو می‌برد و باید انتظار داشته باشیم که به‌زودی دستاوردهای بیشتری از آن ببینیم.