OpenAI چگونه مسئله ناویر-استوکس را در ۸۸ ساعت حل کرد؟

بسیاری از ریاضی‌دانان مشهور و گمنام، سال‌های زیادی از عمرشان را صرف حل برخی معادلات، کشف‌های جدید یا نظریه‌ها کرده‌اند. ولی اول سپتامبر ۲۰۲۶، آزمایشی آغاز شد که مقیاس و سرعتش در تاریخ پژوهش بی‌سابقه بود و هیچ شباهتی به روال کار ریاضی‌دانان کلاسیک نداشت.

نه یک انسان، نه حتی یک تیم تحقیقاتی در دانشگاهی معتبر، بلکه گروهی متشکل از حدود ۱۰ هزار ایجنت هوش مصنوعی شرکت OpenAI، به طور موازی و هم‌زمان روی یکی از مشهورترین و سخت‌ترین مسائل حل‌نشده‌ی ریاضیات کار کردند.

ایجنت‌ها صرفاً کدهایی را که پژوهشگران شرکت درنظر داشتند، اجرا نمی‌کردند؛ به گفته‌ی OpenAI آن‌ها مانند یک سازمان پژوهشی غول‌پیکر و خودمختار، به خوشه‌ها و گروه‌های مختلف تقسیم شده بودند. روی ایده‌های متفاوت کار می‌کردند، به یکدیگر پیام می‌دادند، کد می‌نوشتند، فرضیه‌های هم را نقد می‌کردند و یافته‌های امیدوارکننده‌ی یک گروه را بلافاصله به گروه‌های دیگر انتقال می‌دادند.

آمار و اعدادی که برای این عملیات ذکر می‌شوند، به حد کافی مبهوت‌کننده‌اند. این پژوهشگران مصنوعی تنها در عرض ۸۸ ساعت، با تبادل ۲٫۷ میلیون پیام درون‌شبکه‌ای و تولید خیره‌کننده‌ی ۱۳۰ میلیارد توکن، موفق شدند یک اثبات ۱۶۵ صفحه‌ای را تدوین کنند.

طی ۱۷ ساعت بعدی هم تمام این استدلال‌ها در دستیار اثبات «Lean» بررسی شد و مهر تأیید را دریافت کرد. اوپن‌ای‌آی می‌گوید ایجنت‌هایش یکی از هفت مسئله‌ی هزاره، معمایی که دهه‌هاست درخشان‌ترین ذهن‌های بشریت را به بن‌بست کشانده، حل کرده‌اند.

اما مسئله‌ی یک‌میلیون‌دلاری ناویر-استوکس واقعا چیست و چرا رفتار آشنای سیالات، در طول تمام این سال‌ها ریاضی‌دانان زیادی را ناامید کرد؟ ایجنت‌های هوش مصنوعی دقیقا چه مشکلی را حل کرده‌اند؟

وقتی قاشقی را در فنجان چای هم می‌زنید و بیرون می‌کشید، مایع برای لحظاتی به دور خود می‌چرخد، اما گردابه‌ی کوچک (vortex) داخل فنجان رفته‌رفته ضعیف‌تر می‌شود و سطح چای خیلی زود آرام می‌گیرد، چون اصطکاک درونی مایع یا گرانروی بخشی از انرژی حرکتی را پراکنده می‌کند.

مایعات و گازها دائم حرکت می‌کنند، می‌چرخند، با هم برخورد می‌کنند و سرعتشان تغییر می‌کند. اما رفتار سیالات همیشه به‌سادگی یک فنجان چای نیست. در جریان‌های پیچیده‌تر، گردابه‌ها می‌توانند یکدیگر را بکشند، باریک‌تر شوند و شدیدتر بچرخند.

آیا گران‌روی همیشه می‌تواند این تشدید حرکت را مهار کند، یا ممکن است سرعت در ناحیه‌ای کوچک، از هر حدی فراتر برود؟ همین سؤال به‌ظاهر ساده ما را به مسئله‌ی ناویر-استوکس می‌رساند؛ یکی از هفت مسئله‌ی هزاره که حالا OpenAI می‌گوید راه‌حلی برای آن یافته است.

ولی حرکت خود سیال هم محاسبات را دشوارتر می‌کند. مثلا وقتی جریان آب گردابه‌ای را با خود می‌کشد؛ گردابه هم مسیر و سرعت آب اطرافش را تغییر می‌دهد. معادلات باید این تأثیر متقابل را هم توصیف کنند.

ریاضی‌دان‌ها برای بررسی مسئله‌ی هزاره، سیالی سه‌بعدی و تراکم‌ناپذیر را در نظر می‌گیرند؛ یعنی هر بخش از سیال هنگام حرکت حجم خود را حفظ می‌کند. وضعیت اولیه‌ی سیال هم باید «هموار» باشد؛ یعنی سرعت و تغییراتش همه‌جا منظم و پیوسته پیش بروند و جریان از همان آغاز دچار تکینگی نشود.

وقتی از هموار بودن سیال حرف می‌زنیم منظور این نیست که سیال را ساکن نگه داریم، یا سیال هیچ گردابه‌ای نداشته باشد، گاهی جریانی آشفته و پیچیده هم می‌تواند این شرایط را رعایت کند.

در مرحله‌ی بعد ریاضی‌دان‌ها باید ببینند این همواری چقدر و تا چه زمانی دوام می‌آورد. آیا معادلات برای هر زمان دلخواهی در آینده، همچنان سرعت و فشار سیال را با توابعی هموار توصیف می‌کنند؟ یا ممکن است جریان در زمانی محدود به تکینگی (Singularity) برسد؛ وضعیتی که در آن، سرعت در ناحیه‌ای کوچک از هر حدی فراتر می‌رود؟

توجه کنید که تکینگی صرفاً به معنای سرعت بسیار زیاد نیست. ما هر عددی را به‌عنوان سقف سرعت در نظر بگیریم، نزدیک لحظه‌ی تکینگی از آن عبور می‌کنیم.

گران‌روی مثل یک ترمز عمل می‌کند و نمی‌گذارد بخش‌های مختلف یک مایع یا گاز با سرعت‌های خیلی متفاوت از کنار هم رد شوند؛ اما حرکت خود جریان می‌تواند گردابه‌ها و چرخش‌های ریز درون سیال را کش بیاورد و چرخششان را شدیدتر و سریع‌تر کند. آیا گرانروی همیشه می‌تواند جلوی تکینگی را بگیرد؟

ریاضی‌دان‌ها برای حل مسئله دو راه پیش رو دارند. یکی اینکه ثابت کنند اگر نیرویی از بیرون به سیال وارد نشود، جریان با هر شروع همواری که شرایط مسئله را رعایت کند، تا همیشه هموار می‌ماند. اما راهکار دوم می‌گوید که جریانی بسازید که در ابتدا هموار باشد، اما در زمانی محدود سرعتش از هر حدی فراتر برود.

حتی اگر یک جریان با چنین رفتاری پیدا کنید، درصورتی‌که شروط مسئله رعایت شده باشد، برای حل مسئله کافی است. در این راه، می‌توان از نیروی خارجی هم کمک گرفت؛ اما خود نیرو باید هموار بماند. نمی‌شود نیرویی بی‌نهایت به سیال وارد کرد و بعد نامحدود شدن سرعتش را به‌حساب رفتار معادلات گذاشت.

OpenAI برای حل معادلات ناویر-استوکس از روش دوم استفاده کرد؛ در مدل پیشنهادی این شرکت ابتدا سیال ثابتی وجود دارد که با نیرویی خارجی به حرکت در می‌آید و بعد، جریان در گوشه‌ای کوچک متمرکز می‌شود و سرعتش به بی‌نهایت میل می‌کند. خود نیروی خارجی هم در تمام این مدت هموار می‌ماند.

چرا اصلاً یک جریان باید به سمت بی‌نهایت و تکینگی برود؟ لوله‌های گردابه‌ای را تصور کنید. وقتی یک گردابه در سیال کشیده می‌شود، بلندتر و باریک‌تر شده و سرعت چرخشش افزایش می‌یابد. درست مانند اسکیت‌بازی که روی یخ می‌چرخد و با جمع‌کردن دست‌ها در سینه، سرعت چرخش خود را به‌شدت بالا می‌برد.

در یک جریان آشفته یا پیچیده، ساختارهای بزرگ گردابه‌ها و نوسان‌های کوچک‌تر را می‌کشند و تقویت می‌کنند و انرژی به سمت مقیاس‌های ریزتر سرازیر می‌شود. اما شهود فیزیکی به‌تنهایی برای اثبات تکینگی کافی نیست. همین فرایند می‌تواند اختلاف سرعت را در نواحی کوچک‌تر و کوچک‌تر متمرکز کند؛ ولی کوچک‌تر شدن گردابه مشکل مهمی دارد.

انرژی به مقدار سیالی که با آن سرعت حرکت می‌کند هم بستگی دارد. اگر سرعت دو برابر شود، انرژیِ همان مقدار سیال چهار برابر می‌شود؛ اما اگر حجم سیال درگیر هم‌زمان به یک‌چهارم برسد، انرژی تغییری نمی‌کند.

شاید با یک مثال تصویری این تناقض را بهتر درک کنیم. نموداری با یک برآمدگی را در نظر بگیرید و فرض کنید این برآمدگی فشرده می‌شود؛ یعنی هر لحظه بلندتر و باریک‌تر می‌شود. ارتفاع نمودار می‌تواند همین‌طور بالا برود و عرضش کم شود؛ اما مساحت زیر آن برآمدگی که قاعدتاً انرژی را نشان می‌دهد؛ محدود بماند.

اگر بخواهیم تصویر نمودار فرضی‌مان را در دنیای سیالات ترجمه کنیم، مربع سرعت سیال یعنی ارتفاع و حجم سیال، همان عرض برآمدگی خواهد بود.

در واقع حجم به صفر میل می‌کند، انرژی محدود می‌ماند، اما سرعت از مرزهای ریاضی عبور می‌کند. این متمرکزشدن شدید، دقیقاً همان ترفند ریاضی ظریفی است که محور اصلی استدلال و ضدنمونه‌ی ادعایی OpenAI را می‌سازد.

هوش مصنوعیِ OpenAI برای اینکه سیال بتواند به سرعت بی‌نهایت برسد، ساختار فیزیکی بسیار خاصی را طراحی کرد. یک فضای استوانه‌ای را در نظر بگیرید، یک محور عمودی در مرکز قرار دارد و سیال به دور این محور می‌چرخد.

حالا فرض کنید جریان سیال از اطراف به سمت این محور مرکزی کشیده می‌شود. اما پیش‌تر از قانون «تراکم‌ناپذیری» سیالات گفتیم، سیال نمی‌تواند روی محور مرکزی تلنبار و فشرده شود. پس وقتی جریانی از اطراف به سمت مرکز هجوم می‌آورد، فقط می‌تواند در امتداد محور عمودی، به سمت بالا و پایین حرکت شود.

در نتیجه‌ی فرایند بالا، گردابه‌ای شکل می‌گیرد که در راستای شعاع، مدام باریک و باریک‌تر می‌شود و در راستای محور، کشیده‌تر. ساختاری شبیه به یک رشته‌ی بسیار بلند به وجود می‌آید؛ پدیده‌ای که در توصیفات این پژوهش با استعاره‌ی ملموس «اسپاگتی» از آن یاد می‌شود.

اما فراموش نکنید که گران‌روی یا عامل بازدارنده و اصطکاک، در مقیاس‌های کوچک قدرت بیشتری دارد و همچنان سعی می‌کند این روند را متوقف کند. پس گردابه‌ی اسپاگتی به‌تنهایی برای اثبات مسئله کافی نیست.

گردابه‌ی باریک‌شونده، مدل ایده‌آلی به نظر می‌رسد که به سمت سرعت بی‌نهایت میل می‌کند. اما در ریاضیات وقتی میدان سرعت پیشنهادی را درون معادلات کامل ناویر-استوکس قرار می‌دهیم، معادله کاملاً ارضا نمی‌شود و دو طرف آن با هم برابر در نمی‌آیند. در واقع، یک خطای باقی‌مانده (Residual) ظاهر می‌شود که عمدتاً در مرز میان هسته‌ی گردابه و جریان آرام اطرافش خودش را نشان می‌دهد.

OpenAI برای خنثی‌کردن خطای Residual، خانواده‌هایی از موج‌ها و حلقه‌های بسیار ریز را پیرامون هسته‌ی گردابه وارد محاسبات می‌کند. هرچه زمان جلو می‌رود و هسته باریک‌تر می‌شود، این نوسان‌ها نیز ریزتر می‌شوند و فرکانسشان بالا می‌رود.

کارایی این نوسان‌ها به غیرخطی‌بودن معادلات ناویر-استوکس برمی‌گردد. فرض کنید یک نوسان بین مقادیر ۱+ و ۱- تغییر می‌کند؛ میانگین این نوسان آشکارا «صفر» است. اما معادلات ناویر-استوکس غیرخطی‌اند و در یک ساختار غیرخطی، مقادیر به توان می‌رسند یا در هم ضرب می‌شوند.

مربع ۱+ و مربع ۱-، هر دو برابر ۱ هستند، یعنی یک نوسان که ظاهراً باید میانگینش صفر باشد، وقتی وارد سیستم غیرخطی معادله می‌شود، اثری واقعی و غیرصفر تولید می‌کند.

باقی‌مانده با نزدیک‌شدن به زمان تکینگی بزرگ‌تر می‌شود و ازسوی‌دیگر، نوسان‌های ریز از طریق بخش غیرخطی معادله اثری در جهت مخالف ایجاد می‌کنند. پارامترهای نوسان‌ها طوری تنظیم می‌شوند که این دو کمیت با دقت بسیار زیادی یکدیگر را خنثی کنند.

خنثی‌شدن باقی‌مانده اجازه می‌دهد نیروی خارجی لازم برای برقراری معادله هموار و محدود بماند، درحالی‌که هسته‌ی گردابه همچنان باریک‌تر می‌شود و سرعتش به سمت بی‌نهایت می‌رود.

حالا که با سازوکار گردابه آشنا شدیم، بیایید به ساختار ریاضی آن در بستر زمان نگاه کنیم. ابتدا باید با متغیری کلیدی به نام تاو (τ) آشنا شویم. تاو زمان باقی‌مانده تا شکل‌گیری تکینگی را نشان می‌دهد و به‌صورت τ = T - t تعریف می‌شود، جایی که T زمان وقوع تکینگی و t زمان فعلی را نشان می‌دهند. بنابراین هرچه به لحظه‌ی تکینگی نزدیک‌تر شویم، مقدار τ کوچک‌تر می‌شود و در نهایت به صفر میل می‌کند.

در ساختار پیشنهادی OpenAI، شعاع هسته‌ی گردابه متناسب با τ¹ᐟ² کاهش می‌یابد. اندازه‌ی هسته در امتداد محور نیز کوچک می‌شود، اما با آهنگی آهسته‌تر و متناسب با τ¹ᐟ²⁻ʰ، که در این رابطه h را عددی مثبت و کوچک کمتر از یک‌صدم در نظر گرفته‌اند.

ازآنجاکه توان τ منفی است، هرچه τ به صفر نزدیک‌تر شود، سرعت‌ها بزرگ‌تر می‌شوند و در نهایت بدون کران رشد می‌کنند. در مقابل، انرژی جنبشی کل هسته که رابطه‌ای با حجم و مربع سرعت دارد، متناسب با τ¹ᐟ²⁻³ʰ تغییر می‌کند.

وقتی h به اندازه‌ی کافی کوچک باشد، توان τ مثبت باقی می‌ماند، بنابراین با نزدیک‌شدن τ به صفر، انرژی هسته محدود می‌ماند؛ اما سرعت به بی‌نهایت می‌رسد. شبیه ایده‌ی فشرده‌شدن نمودار در ناحیه‌ای بی‌نهایت کوچک.

حل مستقیم ناویر-استوکس، به‌خاطر حضور سرسختانه‌ی گران‌روی، شبیه بالارفتن از صخره‌ای بدون قلاب و جای دست بود. به همین دلیل تیم هوش مصنوعی مسیر راحت‌تری را برای شروع کار انتخاب کرد، فکر می‌کنید چه می‌شود اگر اصطکاک را از سیستم حذف کنیم؟

اگر جمله‌ی گران‌روی را از معادلات ناویر-استوکس کنار بگذاریم، به معادلات اویلر می‌رسیم که رفتار یک سیال کاملاً ایده‌آل و بدون هیچ‌گونه اصطکاک داخلی را توصیف می‌کنند. در غیاب گران‌روی، ساخت مکانیزمی که سرعت را به بی‌نهایت ببرد، به لحاظ محاسباتی سرراست‌تر می‌شود.

ایده‌ی پیشنهادی برای معادلات اویلر از یک زنجیره‌ی چندمرحله‌ای استفاده می‌کند. ایجنت‌ها کار را با یک جریان برشی بزرگ شروع کردند؛ جایی که لایه‌های سیال روی‌هم می‌لغزند. روی این جریان هم یک نوسان کوچک قرار دادند.

جریان اصلی و بزرگ، نوسان کوچک را می‌کشد و گرادیان سرعتش را تقویت می‌کند. نوسان تقویت‌شده بعد از مدتی خودش همان نقش جریان برشی را برای یک نوسان کوچک‌تر بازی می‌کند.

نوسان دوم نیز تقویت می‌شود و به نوبه‌ی خود روی نوسان سوم اثر می‌گذارد. این روند بارها تکرار می‌شود. هر مرحله کوچک‌تر و سریع‌تر از مرحله‌ی قبلی رخ می‌دهد و شرایط لازم را برای مرحله‌ی بعد فراهم می‌کند. به چنین زنجیره‌ای «آبشار خودمتشابه» می‌گویند.

در این روند، فاصله‌ی زمانی میان نسل‌ها پیوسته کاهش می‌یابد؛ تا جایی که بی‌نهایت مرحله از آبشار، در یک بازه‌ی زمانیِ کاملا محدود رخ می‌دهند. هم‌زمان، تغییرات سرعت در مقیاس‌های کوچک‌تر متمرکز می‌شوند. در این تراکم زمانی، بیشینه‌ی گرادیان سرعت چاره‌ای جز میل‌کردن به بی‌نهایت ندارد.

نتیجه‌ای که گروه کوچک‌تر ایجنت‌ها برای معادلات اویلر به دست آورد، بعداً به پروژه‌ی بزرگ‌تر ناویر-استوکس منتقل شد. ایده‌ها و تکنیک‌های حاصل از این مرحله، مبنای بخشی از کار حدود ۱۰ هزار ایجنتی قرار گرفت که روی مسئله‌ی ناویر-استوکس کار می‌کردند.

پس از اینکه ایجنت‌ها استدلالشان را تکمیل کردند، نوبت به فرمالیزاسیون رسید، در محیط Lean، هر استدلال ریاضی به مجموعه‌ای از گام‌های کاملاً صوری و دقیق تبدیل می‌شود و سیستم بررسی می‌کند که آیا هر نتیجه، از نظر قواعد منطق، واقعاً از مقدمات قبلی به‌دست‌آمده یا خیر.

دستیار اثبات Lean می‌گوید اگر مفروضات شما درست باشد، استدلال از نظر منطقی درست پیش رفته یا نه، ولی نمی‌تواند بگوید که آیا مفروضات و تعاریف اولیه، دقیقاً با صورت‌مسئله‌ی مؤسسه Clay تطابق دارند. مثلاً آیا تعریف هوش مصنوعی از همواری، دامنه و شرایط اولیه همان چیزی است که جایزه‌ی یک‌میلیون‌دلاری می‌طلبد؟

به‌محض انتشار ادعای OpenAI، موجی از تردید و بحث شبکه‌های اجتماعی ریاضی‌دانان را فراگرفت. درحالی‌که افکار عمومی منتظر اعلام یک پیروزی تاریخی بود، نهادهای مرجع رویکردی کاملاً محتاطانه اتخاذ کردند. در حال حاضر، مؤسسه Clay همچنان مسئله‌ی ناویر-استوکس را در فهرست مسائل حل‌نشده‌ی خود نگه داشته است.

برای اینکه یک اثبات برچسب حل‌مسئله‌ی هزاره را دریافت کند، باید مراحل مختلفی را پشت سر بگذارد؛ مثلا انتشار رسمی در ژورنال‌های معتبر علمی، گذشت مدت زمانی خاص برای نقد و بررسی اساتید و ریاضی‌دانان و در نهایت پذیرش گسترده در جامعه نخبگان.

گروهی از اساتید و ریاضی‌دانان هم بحث اصالت ایده‌ها را پیش کشیده‌اند و برخی از پژوهشگران به این موضوع اشاره کرده‌اند که آیا شبکه‌ی عصبی واقعاً بینش ریاضی جدید خلق کرده، یا صرفاً توانسته با سرعت پردازش خیره‌کننده‌اش، مقاله‌ها، تکنیک‌ها و دستاوردهای پیشینِ انسان‌ها را در یک قالب فرمال، مونتاژ کند؟

راه اثبات امروزی مسئله ناویر-استوکس؛ از سال ۲۰۲۳ تا ۲۰۲۵ و با پژوهش‌های دو ریاضی‌دان برجسته اسپانیایی به نام‌های دیه‌گو کوردوبا و لوئیس مارتینز زوروآ آغاز شد، آن‌ها روش ساخت تکینگی از طریق آبشاری از گردابه‌ها را توسعه دادند، هرچند نتوانستند نیروی خارجی را با شرایط سخت‌گیرانه‌ی مسئله‌ی هزاره سازگار کنند.

کمی بعد، تریستان باک‌مستر از دانشگاه نیویورک و لونت آلپوگه از آنتروپیک با کمک مدل‌های زبانی همین مسیر پژوهشی را ادامه دادند و به نتایجی درباره‌ی معادلات اویلر و نسخه‌ای نزدیک به مسئله‌ی ناویر-استوکس رسیدند. انتشار خبر پیشرفت آن‌ها به OpenAI رسید و به گفته‌ی خود شرکت، انگیزه‌ی آغاز پروژه‌ای شد که سرانجام به اثبات ناویر-استوکس انجامید.

تقریباً هم‌زمان با اعلام نتیجه‌ی OpenAI، باک‌مستر شرحی از کار مشترک خودش و آلپوگه منتشر کرد و پرسش‌هایی را درباره‌ی منشأ راه‌حل جدید پیش کشید. او می‌گفت انتخاب نسخه‌ی ناویر-استوکس با نیروی خارجی هموار، مسیر بدیهی و آشکاری نبود که همه به صرافت انتخابش بیفتند.

باک‌مستر و آلپوگه هنگام پیشبرد پژوهش خود، پیش‌نویس‌ها و ایده‌هایشان را در Codex و Claude وارد کرده بودند و باک‌مستر می‌پرسید آیا داده‌های پژوهش آن‌ها، به‌نحوی بر مدل تازه‌ یا راه‌حل شرکت اثر گذاشته است یا نه. او البته تأکید کرد مدرکی برای ادعایش ندارد و چنین اتفاقی را هم به طور قطعی رد نمی‌کند.

OpenAI در پاسخ گفت پژوهشگران و ایجنت‌هایش پیش از انتشار عمومی، کار باک‌مستر و آلپوگه را ندیده‌اند و برای حل مسئله به داده‌ی مشخص هیچ کاربری دسترسی پیدا نکرده‌اند. شرکت احتمال این‌که داده‌های این دو ریاضی‌دان در Codex روی بهبود مدل‌ها اثر گذاشته باشند رد نکرد، هرچند آن را بعید دانست.

ابهامات پیرامون منشا دستاورد اوپن‌ای‌آی، بحث‌های گسترده‌تری را درباره‌ی اعتبار علمی به راه انداخت. برای مثال وقتی پژوهشگران ایده‌های منتشرنشده‌ی خود را در اختیار ابزارهای هوش مصنوعی می‌گذارند، شرکت سازنده چگونه باید استقلال راه‌حل، منشأ ایده‌ها و سهم هر پژوهشگر را روشن کند؟

اگر جامعه‌ی ریاضی اثبات OpenAI را تایید کند، کاری که ایجنت‌های این شرکت در ۸۸ ساعت کردند نقطه‌ی بی‌بازگشتی در تاریخ علم خواهد بود.

شاید هم اهمیت واقعی این دستاورد را نه در جایزه‌ی یک میلیون دلاری تعیین کند و نه فرمول‌های تکینگی سیالات. هوش مصنوعی نشان داد که می‌تواند چرخه‌ی پژوهش علمی گروهی را شبیه‌سازی کند؛ از تقسیم کار و تولید ایده‌ی خام گرفته تا نقد فرضیه‌های یکدیگر، انتقال بینش بین خوشه‌های تحقیقاتی و در نهایت رسیدن به یک خروجی یکپارچه.