گروهی از ریاضیدانان موفق به طراحی مجموعهای از پنج تاس ۶۰ وجهی شدهاند که میتواند ترتیب نوبت بازیکنان را کاملاً عادلانه مشخص کند؛ بدون اینکه احتمال مساوی شدن نتیجه حتی برای یک حالت وجود داشته باشد.
داستان این تاسها درحوالی سال ۲۰۱۰ و در شام دوستانهای در حاشیه یک همایش بازی شروع شد. جیمز ارنست، طراح بازیهای رومیزی، از دوستش اریک هارشبرگر سؤالی ساده پرسید: آیا میشود مجموعهای از تاسها ساخت که در هر گروهی از بازیکنان، چه دو نفر باشند چه تعداد بیشتری، هر فرد یک تاس بردارد، آن را بیندازد و دقیقاً شانس یکسانی برای برندهشدن داشته باشد؟
قانون بازی ساده بود: هرکس عدد بالاتری بیاورد، اول میشود. اما چالش اصلی این بود که این عدالت باید برای هر تعداد بازیکن حفظ شود؛ بدون مساوی شدن و بدون نیاز به پرتاب دوباره.
بعد از ۱۵ سال جستوجو، ریاضیدانان تاسهایی ساختند که حتی ترتیب کامل بازیکنان را هم کاملاً تصادفی و عادلانه مشخص میکند
هارشبرگر، ریاضیدان دانشگاه اوبرن در آلاباما، آن شب پاسخی برای این سؤال نداشت. اما این مسئله ذهنش را درگیر کرد و درطول ۱۵ سال بعد، همراه با گروهی از همکارانش بهصورت غیررسمی روی آن کار کرد.
اکنون دانشمندان سرانجام پاسخ را پیدا کردهاند: پنج تاس ۶۰ وجهی که مجموعاً تمام اعداد یک تا ۳۰۰ را بدون تکرار روی خود دارند. هارشبرگر برای ثبت این دستاورد، پنج نمونه بزرگ چوبی از این تاسها ساخت. هرکدام از چوب متفاوتی ساخته شدهاند و اکنون در ساختمان جدید ریاضی دانشگاه اوبرن به نمایش گذاشته شدهاند.
چرا ساختن تاس منصفانه سخت است؟
در نگاه اول، حل این مشکل ساده به نظر میرسد؛ شاید فکر کنیم کافی است روی هر وجه تاس عددهای متفاوتی بنویسیم تا نتیجهها تکراری نشوند. اما مسئلهی اصلی چیز دیگری است. هارشبرگر میگوید: «مشکل واقعی این است که این اعداد را چگونه پخش کنیم تا هر ترکیبی از بازیکنان، شانس برابر داشته باشد.»
تاسهای ساختهشده حتی کل ترتیب بازیکنان را هم کاملاً تصادفی و عادلانه مشخص میکند
فرض کنید پنج تاس داریم و پنج نفر میخواهند بازی کنند. هر نفر یک تاس برمیدارد و میاندازد. اما اگر فقط سه نفر بازی کنند چه؟ یا هشت نفر؟
تاسها باید طوری طراحی شوند که در هر حالت، هیچ بازیکنی نسبت به دیگری برتری نداشته باشد. یعنی مهم نیست چه تعداد نفر بازی میکنند یا چه تاسی به هر فرد میرسد؛ احتمال برنده شدن باید همیشه برابر بماند.
از سه تاس ساده تا پنج تاس پیچیده
هارشبرگر برای حل این مسئله از رابرت فورد، ریاضیدان کالج ایالتی دالتون و دوست دوران کودکیاش، کمک گرفت. آنها چند هفته بعد توانستند نخستین راهحل را پیدا کنند: سه تاس ششوجهی که اعداد ۱ تا ۱۸ به شکل خاصی روی آنها قرار گرفته بود و میتوانستند برای سه بازیکن کاملاً منصفانه عمل کنند. فورد بعداً با محاسبات دستی نشان داد چهار تاس ۱۲ وجهی هم میتوانند چهار بازیکن را بهطور عادلانه پوشش دهند.
تا سال ۲۰۱۲، هارشبرگر درباره این مجموعه چهار تایی در کنفرانسهای ریاضی صحبت میکرد و حتی رسانهها هم درباره آن نوشتند. پس از آن، افراد زیادی به این پروژه علاقهمند شدند. هارشبرگر مدتی مجموعههای دستساز از این تاسها تولید و از خانه برای خریداران سراسر جهان ارسال میکرد.
اما در ادامه، ریاضیدانان متوجه شدند این تاسها کاری فراتر از تعیین نفر اول انجام میدهند. آنها فقط مشخص نمیکنند چه کسی برنده میشود؛ بلکه کل ترتیب بازیکنان را هم بهصورت تصادفی و کاملاً برابر تعیین میکنند. برای مثال، اگر چهار نفر بازی کنند، احتمال اینکه ترتیب نتیجه A، B، C، D باشد، دقیقاً با احتمال هر ترتیب دیگری مثل C، B، D، A برابر است.
به همین دلیل، نام «تاسهای تعیینکننده نفر اول» چندان دقیق نیست؛ این تاسها علاوه بر مشخصکردن نفر اول، ترتیب همه بازیکنان را هم تعیین میکنند و هر ترتیب ممکن شانس یکسانی دارد. به این ویژگی «انصاف جایگشتی» گفته میشود.
جستوجویی بزرگتر از تعداد اتمهای جهان
حل مسئله پنج بازیکن بسیار دشوارتر بود. از نظر ریاضی مشخص بود که چنین مجموعهای از تاسها باید وجود داشته باشد، اما پیدا کردن آرایش درست اعداد تقریباً غیرممکن به نظر میرسید.
پنج تاس ۶۰ وجهی در مجموع ۳۰۰ وجه دارند و پیدا کردن جای درست اعداد روی آنها، با حدود ۱۰ به توان ۱۲۸ حالت ممکن، مسئلهی محاسباتی عظیمی بود
هارشبرگر میگوید تعداد حالتهای ممکن برای چیدمان اعداد بیشتر از تعداد اتمهای موجود در جهان است. به گفته او، تعداد ترکیبها چیزی در حدود «۱۰ به توان ۱۲۸» است (تعداد کل ترکیبهای ممکن برای توزیع اعداد روی ۵ تاس ۶۰ وجهی) و این عدد آنقدر بزرگ که حتی با قدرتمندترین کامپیوترها و الگوریتمهای امروزی هم نمیتوان همه آنها را بررسی کرد.
بنابراین، آنها نمیتوانستند فقط با قدرت محاسباتی مسئله را حل کنند. باید الگوها و تقارنهایی پیدا میکردند که فضای جستوجو را کوچکتر کند.
سالها تلاش ادامه پیدا کرد، اما هر راهحل مشکلی نیز داشت. بعضی تاسها بیش از حد بزرگ بودند یا تعداد وجههایشان برای ساخت واقعی زیاد میشد. هدف هارشبرگر فقط پیدا کردن یک پاسخ روی کاغذ نبود. او میخواست تاسی ساخته شود که واقعاً بتوان آن را در دست گرفت، پرتاب کرد و حتی برای بازیهای رومیزی تولید کرد.
به نوشته لایوساینس، در اواسط سال ۲۰۲۳، پل مایر، مهندس نرمافزار کانادایی، به هارشبرگر ایمیل زد. مایر درحال بررسی الگوهای موجود در دادههای مربوط به چهار تاس قبلی بود و برنامهای نوشته بود که میتوانست از این الگوها استفاده کند. او انتظار نداشت برنامه فوراً جواب بدهد. اما برنامه موفق شد.
مایر توانست آرایش پنج تاس ۶۰ وجهی را پیدا کند که تمام شرایط را برآورده میکرد. هارشبرگر پس از بررسی نتیجه گفت: «با خودم گفتم: باورکردنی نیست. مدت خیلی طولانی دنبال این بودیم و حالا جواب پیدا شده است.»
از مسئلهای ریاضی تا اثری هنری
مجموعه چهار تاس پیشتر توسط فروشگاههای تخصصی ریاضی در بریتانیا و آمریکا فروخته میشد، اما نسخه پنجتایی هنوز فقط یک ایده بود. پس از پیدا شدن راهحل نهایی، هارشبرگر تصمیم گرفت نسخههای بزرگ چوبی از این تاسها بسازد.
دانشگاه اوبرن درحال ساخت ساختمان جدیدی برای دانشکده ریاضی بود و به دنبال آثار مناسب برای فضای آن میگشت. پیشنهاد ساخت پنج تاس بزرگ پذیرفته شد.
پل مایر با برنامهای کامپیوتری و بررسی الگوهای قبلی توانست آرایش نهایی پنج تاس ۶۰ وجهی را پیدا کند
هارشبرگر ماهها در کارگاه خود کار کرد و پنج تاس بزرگ ساخت. هر تاس از نوع متفاوتی از چوب ساخته شده است؛ کاج، صنوبر، بلوط، گردو و ماهون. این پنج تاس اکنون در ساختمان جدید ریاضی دانشگاه اوبرن به نمایش گذاشته شدهاند.
هدف هارشبرگر فقط نمایش یک دستاورد ریاضی نیست. او میخواهد مردم با دیدن این تاسها کنجکاو شوند و بفهمند پشت یک شیء ساده روزمره، چه ایدههای پیچیدهای میتواند وجود داشته باشد.
او میگوید: «وقتی مردم این تاسهای بزرگ یا کوچک را میبینند، اول جذب هندسه آنها میشوند. امیدوارم بعد از آن بگویند: این هم ریاضیات است و جالب است.» به گفته او، برخی از جذابترین مسائل ریاضی، همانهایی هستند که توضیحشان ساده، اما پیدا کردن پاسخشان بسیار دشوار است.
