عدد گنگ چیست؟ از انواع تا کاربرد و ارتباط آن با اعداد گویا

مفهوم اعداد گنگ زمانی کشف شد که افراد یافتن ریشه‌ی مربع و مکعب اعداد غیرصحیح را دشوار دیدند. اعداد گنگ به کمک حل این مسئله آمدند. رقم اعشار این اعداد بدون هیچ رقم تکراری تا بی‌نهایت ادامه می‌یابد.

عدد گنگ، عددی حقیقی است که نمی‌توان آن را به شکل نسبتی از اعداد صحیح p/q نوشت به‌طوری‌که q مخالف با صفر باشد؛ برای مثال 2√ (رادیکال دو) یک عدد گنگ است. همچنین بسط اعشاری اعداد گنگ تا بی‌نهایت بدون رقم تکرارشونده یا پایان‌دهنده ادامه می‌یابد.

اعتبار کشف اعداد گنگ به هیپاسوس، ریاضی‌دان یونانی قرن پنجم پیش از میلاد می‌رسد. او در حال کار روی مسئله‌ای متفاوت به این حقیقت برخورد کرد که مثلث قائم‌الزاویه‌ متساوی‌الساقین که دو ضلع آن دارای طول یک واحد هستند، دارای وتری به طول 2√ خواهند بود که یک عدد گنگ است. این معادله را می‌توان با قضیه‌ی فیثاغورسی معروف a^2+b^2=c^2 نمایش داد.

به‌عنوان جایزه این کشف، هیپاسوس را به دریا انداختند. دلیل این مسئله هم عضویت او در گروهی به نام فیثاغورثیان بود؛ گروهی شبه‌مذهبی که باور داشتند «همه چیز عدد است» و جهان از اعداد صحیح و نسبت‌های آن‌ها ساخته شده است. این گروه که از کشف هیپاسوس آزرده شده بودند، او را به مرگ محکوم کردند.

ترس از اعداد گنگ بعدها فروکش کرد و در نهایت این اعداد در ریاضیات کاربرد پیدا کردند. اعداد گنگ و گویا همراه با یکدیگر اعداد حقیقی را می‌سازند. اغلب اعداد حقیقی گنگ هستند. جورج کانتور، ریاضیدان آلمانی این مسئله را در قرن نوزدهم ثابت کرد. او نشان داد اعداد گویا شمارش‌پذیرند، اما اعداد حقیقی غیرقابل شمارش هستند. این یعنی تعداد اعداد حقیقی بیشتر از اعداد گویا است.

از آنجا که اعداد گنگ همه اعداد حقیقی غیرگویا هستند، از نظر تعداد فراتر از اعداد گویا هستند و ادامه‌ی اعداد حقیقی غیرقابل شمارش را می‌سازند.

اصطلاح نسبت به معنی مقایسه‌ی دو کمیت و نمایش آن به شکل کسری ساده‌تر است. عدد درصورتی گویا درنظر گرفته می‌شود که بتوان آن را به صورت a/b نوشت. مخرج عدد گویا، یک عدد طبیعی (عدد غیرصفر) است. اعداد صحیح، کسرهایی مثل کسر ترکیبی، اعداد اعشاری تکراری، اعداد اعشاری متناهی، همه در گروه اعداد گویا قرار می‌گیرند.

از آنجا که اعداد گنگ، زیرمجموعه‌های اعداد حقیقی هستند، تابع تمام ویژگی‌های سیستم اعداد حقیقی هستند. در ادامه به چند ویژگی اعداد گنگ اشاره می‌کنیم:

• مجموع یک عدد گنگ و یک عدد گویا برابر است با عددی گنگ. برای مثال، فرض کنید x یک عدد گنگ و y عددی گویا است. جمع این دو عدد x+y عدد گنگ z را تولید خواهد کرد.
• ضرب هر عدد گنگ با عدد گویای غیرصفر به تولید عددی گنگ می‌انجامد. فرض کنید اگر xy=z گویا باشد، آن‌گاه x=z/y گویا است. در مقابل اگر x گنگ باشد، حاصل ضرب xy گنگ خواهد بود.
• جمع یا ضرب دو عدد گنگ، برابر است با عددی گویا. برای مثال 2 = 2√. 2√. در اینجا 2√ عددی گنگ است. اگر دو بار این دو را ضرب کنید حاصل عدد گویای ۲ خواهد بود.

با وجود سرنوشت هیپاسوس، عدد 2√ یکی از شناخته‌شده‌ترین اعداد گنگ است و گاهی با عنوان ثابت فیثاغورث هم از آن یاد می‌شود. ثابت فیثاغورث برابر است با ۱٫۴۱۴۲۱۳۵۶۲۳ و الی بی‌نهایت. این عدد دارای کاربردهای گسترده‌ای است. در ابعاد مجله‌های بین‌المللی از این عدد استفاده می‌شود. بر اساس تعریف سازمان بین‌المللی استاندارد (ISO) از سری کاغذ A، حاصل طول این کاغذ تقسیم بر عرض آن باید برابر با ۱٫۴۱۴۲ باشد. به‌طوری‌که تقسیم یک کاغذ A1 بر نصف عرض آن به تولید دو کاغذ A2 می‌انجامد. تقسیم یک کاغذ A2 به نصف هم مجددا به تکه‌ کاغذ‌های A3 منجر می‌شود و این روند به همین ترتیب ادامه پیدا می‌کند.

عدد پی به نسبت محیط دایره به قطر آن گفته می‌شود. قدمت عدد پی به بابل باستان در حدود ۴۰۰۰ سال پیش بازمی‌گردد. این عدد برابر است با ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵ و الی بی‌نهایت. هواداران عدد پی غرور زیادی در به خاطر سپردن تعداد رقم‌های آن دارند. سورش کومار شارما از هند رکورد به خاطر سپاری ۷۰٬۰۳۰ رقم اعشار پی را از آن خود کرده است.

عدد فی که با عنوان نسبت طلایی هم شناخته می‌شود، از زمان یونان باستان در میان مردم رایج بود. فی را می‌توان به برداشتن یک تکه چوب و شکستن آن به دو قسمت تشبیه کرد. اگر نسبت بین این دو بخش باربر با نسبت کل تکه چوب و کل چوب باشد، به آن نسبت طلایی گفته می‌شود.

این عدد برابر است با ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷ و الی بی‌نهایت. این عدد برای توصیف زیبایی بی‌نقص و الگوهای طبیعی هم به کار می‌رود، گرچه روایت‌ها و تصورات نادرستی هم در این‌باره وجود دارند. فی در واقع با سری فیبوناچی ارتباط دارد که خود منبع برداشت‌های نادرست دیگری است.

مبنای الگوریتم طبیعی که e نامیده می‌شود، برگرفته از نام ریاضی‌دان سوییسی لئونهارد اویلر است. e برابر است با ۲٫۷۱۱۸۲۸۱۸۲۸۴ و الی بی‌نهایت.

e علاوه بر لگاریتم‌ها در معادله‌هایی شامل اعداد پیچیده و رشد نمایی هم ظاهر می‌شوند. ۱۴ مارس، روز عدد پی و هفت فوریه یا ۲۷ ژانویه هم بر اساس نوع تقویم، روز e نامیده می‌شود.

اعداد گنگ دارای کاربردهای متعددی در زندگی روزمره هستند. گاهی اعداد گنگ به صورت مستقیم به کار نمی‌روند. در این بخش به برخی کاربردهای مهم اعداد گنگ می‌پردازیم:

• پول. اعداد گنگ برای محاسبه‌ی سود ترکیبی وام‌ها به کار می‌روند. برای این مورد از مجموعه‌ی سری‌های نامتناهی استفاده می‌شود.
• ساخت و ساز. در ساخت و ساز که نیاز به ساخت سازه‌های استوانه‌ای شکل است، از عدد پی برای محاسبات مرتبط با سازه استفاده می‌شود. همچنین محیط هر شیء مدوری به کمک اعداد گنگ محاسبه می‌شود.
• طراحی و مهندسی. مفهوم عدد اویلر محبوبیت زیادی در زمینه‌های طراحی و مهندسی دارد. از این عدد برای پردازش سیگنا‌ل‌ها، محاسبات و سرعت‌‌سنج‌ها استفاده می‌شود.

اعداد گنگ زیرمجموعه‌های شگفت‌انگیز اعداد حقیقی هستند که قدمتی‌ دیرینه در تاریخ بشر دارند و از دیرباز در زمینه‌های مختلف محاسباتی و ساخت‌وساز کاربرد داشتند. این ارقام را نمی‌توان به‌صورت کسر دو عدد صحیح نوشت و رقم‌های اعشارشان بدون تکرار تا بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کنند.